A C. 1899. feladat (2026. április)

C. 1899. A \(\displaystyle 2227\) két szempontból is különleges szám. Egyrészt legközelebb ebben az évben lesz a Plútó közelebb a Naphoz, mint a Neptunusz, másrészt kiválasztható három számjegye úgy, hogy ezeket összeszorozva a kihagyott számjegynél eggyel nagyobb számot kapunk. Hány olyan négyjegyű pozitív egész szám van, amely rendelkezik ez utóbbi tulajdonsággal?

Javasolta: Czett Mátyás (Zalaegerszeg)

(5 pont)

A beküldési határidő 2026. május 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Csoportosítsuk a megfelelő négyjegyű számokat aszerint, hogy mi lehet a kihagyott számjegy:

• \(\displaystyle 0\); ez esetben a másik három számjegy szorzata \(\displaystyle 1=1\cdot1\cdot1\) csak ebben a szorzat alakban áll elő
• 3 olyan négyjegyű szám van, amely az \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 1\) és \(\displaystyle 0\) számjegyekből áll elő.
• \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 4\) vagy \(\displaystyle 6\); ez esetekben a másik három számjegy szorzata egy \(\displaystyle p\) prímszám, mely csak a \(\displaystyle p\cdot1\cdot1\) alakban áll elő
• 4 olyan négyjegyű szám van, amely az \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle p-1\), \(\displaystyle p\) számjegyekből áll, ha \(\displaystyle p-1=1\),
• 12 olyan négyjegyű szám van, amely az \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle p-1\), \(\displaystyle p\) számjegyekből áll, ha \(\displaystyle p-1\) a \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 4\) és \(\displaystyle 6\) számjegyek közül való,
• ez összesen 40 szám.
• \(\displaystyle 3\), ez esetben a másik három szám \(\displaystyle 4\), \(\displaystyle 1\) és \(\displaystyle 1\), vagy \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 2\) és \(\displaystyle 1\)
• 12 olyan négyjegyű szám van, amely a \(\displaystyle 4\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 3\) számjegyekből áll, és
• 12 olyan, amely a \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 3\) számjegyekből áll,
• ez összesen 24 szám.
• \(\displaystyle 5\), ez esetben a másik három szám \(\displaystyle 6\), \(\displaystyle 1\) és \(\displaystyle 1\) vagy \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 2\) és \(\displaystyle 1\)
• 12 olyan négyjegyű szám van, amely a \(\displaystyle 6\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 5\) számjegyekből áll, és
• 24 olyan, amely a \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 5\) számjegyekből áll,
• ez összesen 36 szám.
• \(\displaystyle 7\); ez esetben a másik három számjegy szorzata \(\displaystyle 8=8\cdot1\cdot1=4\cdot2\cdot1=2\cdot2\cdot2\)
• 12 olyan négyjegyű szám van, amely a \(\displaystyle 8\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 7\) számjegyekből áll,
• 24 olyan, amely a \(\displaystyle 4\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 7\) számjegyekből áll, és
• 4 olyan, amely a \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 2\) és \(\displaystyle 7\) számjegyekből áll,
• ez összesen 40 szám.
• \(\displaystyle 8\); ekkor a másik három jegy szorzata \(\displaystyle 9=9\cdot1\cdot1=3\cdot3\cdot1\)
• 12 olyan négyjegyű szám van, melynek számjegyei \(\displaystyle 9\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 1\) és \(\displaystyle 8\), illetve
• 12 olyan, melynek jegyei \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 1\) és \(\displaystyle 8\),
• ez összesen 24 szám.
• \(\displaystyle 9\); ekkor a maradék három jegy szorzata \(\displaystyle 10\), ami csak úgy lehetséges, ha a három jegy \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 2\) és \(\displaystyle 1\)
• 24 ilyen négyjegyű szám van.

Ezeket összegezve azt kapjuk, hogy 191 megfelelő négyjegyű szám van.

Lehetséges lenne, hogy egy számot több helyen is számolunk, de könnyen ellenőrizhetjük, hogy ez az eshetőség most nem áll fenn.

Statisztika:

A C. 1899. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2026. áprilisi matematika feladatai