A C. 1900. feladat (2026. április)

C. 1900. Matekórán egy \(\displaystyle 30\) fős osztályban a következő játékot játsszák. A tanárnő feldobja hét különböző színű dobóoktaéderét, a gyerekek pedig a kapott számokat egy általuk választott sorrendben leírják, így egy hétjegyű számot hoznak létre. Most éppen az \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 4\), \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 6\), \(\displaystyle 7\) számokat dobta a tanárnő. Lehetséges-e, hogy a diákok által írt számok közül az egyik valamely másiknak a többszöröse? (Megjegyzés. A játékban az nyer, aki azt a számot választotta, amelynek a többi leírt számtól való távolságainak minimuma a legnagyobb.)

Javasolta: Paulovics Zoltán (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2026. május 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Tegyük fel, hogy léteznek \(\displaystyle X\) és \(\displaystyle Y\) olyan hétjegyű pozitív egészek, amelyek számjegyei valamilyen sorrendben az \(\displaystyle 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\), továbbá létezik \(\displaystyle n\) pozitív egész, hogy \(\displaystyle X=nY\). Mivel mindkét szám számjegyösszege \(\displaystyle 28\), azaz a \(\displaystyle 9\)-cel vett osztási maradéka \(\displaystyle 1\), ezért felírhatók az alábbiak szerint: \(\displaystyle X=9a+1, Y=9b+1\) (ahol \(\displaystyle a, b\) pozitív egészek). Azaz \(\displaystyle 9a+1=n(9b+1)\), ami átalakítás után:

\(\displaystyle 9(a-nb)=n-1\)

alakra hozható, azaz \(\displaystyle n\) \(\displaystyle 9\)-cel vett osztási maradéka \(\displaystyle 1\).

Ha \(\displaystyle n=1\), úgy \(\displaystyle X=Y\), tehát a két szám megegyezik. Ekkor persze teljesül, hogy az egyik a másik többszöröse.

Ha \(\displaystyle n \geq 10\), akkor \(\displaystyle X\) és \(\displaystyle Y\) nem lehetnek egyszerre hétjegyű számok.

Tehát pontosan akkor lesz az egyik szám a másik szám többszöröse, ha megegyeznek.

Statisztika:

A C. 1900. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2026. áprilisi matematika feladatai