 |
A C. 1901. feladat (2026. április) |
C. 1901. Az \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) valós számokra
\(\displaystyle |a-1|+|b-1|=|a|+|b|=|a+1|+|b+1| \)
teljesül. Mennyi \(\displaystyle |a-b|\) legkisebb lehetséges értéke?
Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)
(5 pont)
A beküldési határidő 2026. május 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Ha \(\displaystyle a=b\), akkor az \(\displaystyle |a-1|+|b-1|=|a|+|b|\) egyenlőség alapján \(\displaystyle |a-1|=|a|\), ez utóbbi csak \(\displaystyle \displaystyle{a=\frac{1}{2}}\) esetén áll fenn, ekkor \(\displaystyle |a-1|+|b-1|=|a|+|b|=1\).
Ugyanakkor \(\displaystyle \displaystyle{a=\frac{1}{2}}\) mellett nem teljesül az \(\displaystyle |a|+|b|=|a+1|+|b+1|\) egyenlőség, hiszen ekkor a jobb oldal értéke \(\displaystyle 3\).
Eszerint \(\displaystyle a=b\) nem lehetséges, ezért föltehetjük, hogy \(\displaystyle a<b\).
Tekintsük az \(\displaystyle f(x)=|a-x|+|b-x|\) függvényt. Ha \(\displaystyle x\leq a\), akkor \(\displaystyle |a-x|=a-x\) és \(\displaystyle |b-x|=b-x\), ezért
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle f(x)=a+b-2x,\) |
amely szigorúan monoton csökkenő függvény. Ha \(\displaystyle a<x\leq b\), akkor \(\displaystyle |a-x|=-a+x\) és \(\displaystyle |b-x|=b-x\), és így
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle f(x)=b-a, \) |
a kapott függvény így konstans.
Végül, ha \(\displaystyle x>b\), akkor \(\displaystyle |a-x|=-a+x\), illetve \(\displaystyle |b-x|=-b+x\), vagyis
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle f(x)=-(a+b)+2x,\) |
ez pedig szigorúan monoton növekvő függvény.
A feltételben szereplő egyenlőségek szerint
\(\displaystyle f(1)=f(0)=f(-1),\)
azaz az \(\displaystyle f(x)\) függvény három különböző helyen is ugyanazt az értéket veszi fel. Ez (1)-(2)-(3) szerint csak akkor lehetséges, ha az \(\displaystyle 1, 0, -1\) számok az \(\displaystyle \left[a;b\right]\) intervallumban vannak.
Eszerint az intervallum hossza legalább \(\displaystyle 2\), azaz \(\displaystyle |a-b|\geq 2\). Az \(\displaystyle |a-b|=2\) legkisebb érték lehetséges, ha \(\displaystyle a=-1\) és \(\displaystyle b=1\), ekkor valóban teljesül, hogy \(\displaystyle |a-1|+|b-1|=|a|+|b|=|a+1|+|b+1|\), mégpedig
\(\displaystyle |a-1|+|b-1|=|a|+|b|=|a+1|+|b+1|=2.\)
Ezzel a megoldást befejeztük.
Statisztika:
A C. 1901. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2026. áprilisi matematika feladatai