 |
A C. 1905. feladat (2026. május) |
C. 1905. Legyenek \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\) különböző pozitív egészek. A következő négy állítás közül kettő igaz, kettő hamis:
(i) \(\displaystyle a<b<c<d\),
(ii) \(\displaystyle a+b=c+d\),
(iii) \(\displaystyle a^2+b^2=c^2+d^2\),
(iv) \(\displaystyle a^3-b^3=c^3-d^3\).
Adjuk meg \(\displaystyle d\) legkisebb lehetséges értékét.
Skót versenyfeladat
(5 pont)
A beküldési határidő 2026. június 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Vizsgáljuk meg, melyik állítások lehetnek együtt igazak:
Ha (i) igaz, akkor (ii) és (iii) biztosan hamis, hiszen \(\displaystyle a<c\) és \(\displaystyle b<d\), ekkor viszont \(\displaystyle a+b<c+d\), illetve \(\displaystyle a^2+b^2<c^2+d^2\).
Ha (ii) és (iii) egyszerre lenne igaz, akkor \(\displaystyle a^2-c^2=d^2-b^2\) és \(\displaystyle a-c=d-b\) egyenleteket kaphatjuk belőlük. Ezek egyik oldalán sem állhat \(\displaystyle 0\), hiszen \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\) különböző pozitív egészek, így eloszthatjuk egymással a két egyenletet, így az \(\displaystyle a+c=d+b\) egyenlethez juthatunk. Ezt összevetve a (ii) egyenlettel \(\displaystyle a=d\) adódik, mely ellentmond azzal, hogy \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\) különböző számok, tehát (ii) és (iii) sem teljesülhet egyszerre.
Ezek alapján (i), (ii) és (iii) közül legfeljebb egy lehet igaz, tehát közülük egy, és (iv) igaz a négy állításból.
Ha (ii) és (iv) lennének egyszerre igazak, akkor \(\displaystyle a-c=d-b\) és \(\displaystyle a^3-c^3=b^3-d^3\) lenne, csakhogy a két bal oldal azonos, a két jobb oldal ellentétes előjelű, tehát ez sem lehetséges. Hasonlóképpen ha (iii) és (iv) lennének egyszerre igazak, akkor \(\displaystyle a^2-c^2=d^2-b^2\) és \(\displaystyle a^3-c^3=b^3-d^3\) lenne, ahol ismét a két bal oldal azonos, a két jobb oldal ellentétes előjelű.
Tehát biztosan az (i) és (iv) egyenleteknek kell igazaknak lenniük. (i) miatt \(\displaystyle d\ge4\). Továbbá \(\displaystyle d^3=c^3+b^3-a^3\ge(d-1)^3+(d-2)^3-1^3\), ami miatt \(\displaystyle d\) nem lehet 4, 5, 6 és 7 sem.
Először nézzük meg, mi történik akkor, ha \(\displaystyle d-c>1\). Ekkor tovább javíthatjuk a fenti becslést: \(\displaystyle d^3=c^3+b^3-a^3\ge(d-2)^3+(d-3)^3-1^3\), ami kizárja a 8, 9, 10 és 11 számokat is \(\displaystyle d\) lehetséges értékei közül. \(\displaystyle d=12\) esetben viszont találhatunk megoldást: \(\displaystyle a=1\), \(\displaystyle b=9\), \(\displaystyle c=10\) és \(\displaystyle d=12\). Már csak az a kérdés, hogy ha \(\displaystyle d-c=1\), lehet-e \(\displaystyle d<12\).
Ha \(\displaystyle d=c+1\), akkor \(\displaystyle b^3-a^3=d^3-c^3=3c^2+3c+1\) hattal osztva egy maradékot ad. Legyen \(\displaystyle x:=b-a\) pozitív egész szám, ekkor \(\displaystyle b^3-a^3=3xa^2+3x^2a+x^3\) pontosan akkor ad hattal osztva egy maradékot, ha \(\displaystyle x\) \(\displaystyle 6k+1\) alakú. Ha \(\displaystyle x=1\) lenne, abból \(\displaystyle 3c^2+3c+1=3a^2+3a+1\), azaz \(\displaystyle (c+a+1)(c-a)=0\) következne, ami a különböző pozitív egész számok körében nem lehetséges. Tehát \(\displaystyle x\ge7\).
\(\displaystyle b\ge a+1\ge2\), \(\displaystyle c=b+x\) és \(\displaystyle d=c+1\), tehát ha 12-nél kisebb \(\displaystyle d\) értéket keresünk, akkor \(\displaystyle 11\ge d\ge 3+x\), tehát \(\displaystyle x=7\). Három lehetőség marad:
- \(\displaystyle a=1\), \(\displaystyle b=2\), \(\displaystyle c=9\) és \(\displaystyle d=10\),
- \(\displaystyle a=1\), \(\displaystyle b=3\), \(\displaystyle c=10\) és \(\displaystyle d=11\),
- \(\displaystyle a=2\), \(\displaystyle b=3\), \(\displaystyle c=10\) és \(\displaystyle d=11\).
Ezek közül egyik sem megoldása a (iv) egyenletnek, tehát a legkisebb lehetséges \(\displaystyle d\) érték a 12.
Statisztika:
90 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Aaishipragya Kahaly, Barabás Ákos, Barát Balázs Botond, Budai Máté, Buliczka Csombor, Chen Zhibo, Farkas Réka, Gyúri Benedek, Hetyei Dániel, Hirmann Dorottya, Holló Barnabás, Jánosi Bence, Kármán Gergely, Kothencz Luca, Körmöndi Csanád, Kudomrák Lili Anna , Lakatos Levente, Li Tanran, Lovas Márk, Mateas Isabelle, Mészáros Kristóf, Mező Bence, Mizsei Márton, Nádas Zorka Lilla, Nagypál Katóca, Németh Ábel, Nguyen Dang Thuy Chi, Pataki Gergő, Percze Gréta, Rákóczi Bartos, Robb Horkay Jázmin, Sasvári Zoltán, Söderberg Kajsa, Szighardt Anna, Winkler-Antal Dalma. 4 pontot kapott: 24 versenyző. 3 pontot kapott: 15 versenyző. 2 pontot kapott: 4 versenyző. 1 pontot kapott: 6 versenyző. 0 pontot kapott: 5 versenyző.
A KöMaL 2026. májusi matematika feladatai