A C. 1908. feladat (2026. szeptember)

C. 1908. A \(\displaystyle 2026\) olyan négyjegyű, pozitív egész szám, amelynek számjegyei mind párosak, és pontosan kettő egyforma köztük. Hány ilyen négyjegyű, pozitív egész szám van összesen?

Kozma Katalin Abigél) (Győr)

(5 pont)

A beküldési határidő 2026. október 12-én LEJÁRT.

1. megoldás. Öt különböző páros számjegy van (a tízes számrendszerben), tehát a kétszer előforduló számjegyet \(\displaystyle 5\)-féleképpen választhatjuk ki. A maradék négy számjegyből még kettőt \(\displaystyle \binom{4}{2}=6\)-féleképpen, tehát a számjegyeket \(\displaystyle 5\cdot6=30\) különböző módon választhatjuk ki. Ezeket \(\displaystyle \dfrac{4!}{2!}=12\)-féle sorrendben írhatjuk le, így az összes ilyen számsorozatból \(\displaystyle 30\cdot12=360\) különböző létezik. Ezek közül azok nem négyjegyű számok, amelyekben első helyen szerepel a nulla. Ha ezen kívül nincs másik nulla, akkor a négy nemnulla számjegy bármelyike lehet duplán, a másik szereplő számjegy pedig a maradék háromból kerül ki, amely három helyre kerülhet, így összesen \(\displaystyle 4\cdot3\cdot3=36\) eset van. Ha pedig még egy nulla szerepel, akkor nemnulla számjegyekből még kettőt kell kiválasztani, amit \(\displaystyle \binom{4}{2}=6\)-féleképpen tudunk megtenni, ezek sorrendjeinek száma \(\displaystyle 3!=6\), így \(\displaystyle 6\cdot 6=36\) van ilyen számsorozatokból is. Összesen \(\displaystyle 36+36=72\) olyan számsorozat létezik, amely nem négyjegyű szám, ezért \(\displaystyle 360-72=288\) olyan szám van, amely a feladat összes feltételének megfelel.

2. megoldás. Öt különböző páros számjegy van (a tízes számrendszerben), ezért a kétszer előforduló számjegyet \(\displaystyle 5\)-féleképpen választhatjuk ki. a maradék négy számjegyből még kettőt \(\displaystyle \binom{4}{2}=6\)-féleképpen, tehát a számjegyeket \(\displaystyle 5\cdot6=30\) különböző módon választhatjuk ki. A számjegyek közül legfeljebb két darab lehet nulla, így három esetet vizsgálunk meg.

1. eset Ha a számjegyek között nincs nulla, akkor a nemnulla számjegyekből \(\displaystyle \binom{4}{1}\cdot\binom{3}{2}=12\)-féleképpen választhatjuk ki a számjegyeket, hiszen az egyik kétszer szerepel. Ezek a számjegyek bármilyen sorrendben négyjegyű számot alkotnak, ez \(\displaystyle \dfrac{4!}{2!}=12\) sorrendet jelent, így ebben az esetben \(\displaystyle 12\cdot12=144\) megfelelő számot kapunk.

2. eset Ha pontosan egy nullát tartalmaz a szám, akkor a nemnulla számjegyekből \(\displaystyle \binom{4}{1}\cdot\binom{3}{1}=12\)-féleképpen választhatjuk ki a számjegyeket, hiszen az egyik kétszer szerepel, és mellé már csak egy nemnulla számjegy szükséges. A nulla csak az utolsó három hely valamelyikén, míg a többi számjegy bárhol állhat, ez \(\displaystyle 3\cdot \dfrac{3!}{2!}=9\) sorrendet jelent, így ebben az esetben \(\displaystyle 12\cdot9=108\) megfelelő számot kapunk.

3. eset Ha pontosan két nullát tartalmaz a szám, akkor a nemnulla számjegyekből \(\displaystyle \binom{4}{2}=6\)-féleképpen választhatjuk ki a másik két számjegyet. A két nulla csak az utolsó három hely közül két helyet foglal el, ez már a másik két számjegy helyét meghatározza, sorrendjük felcserélhető, azaz a sorrendek száma \(\displaystyle 3\cdot 2=6\). Ebben az esetben \(\displaystyle 6\cdot6=36\) megfelelő számot kapunk.

Több eset nincs, így a feladat feltételeinek megfelelő egész számokból

\(\displaystyle 144+108+36=288\)

darab van.

Statisztika:

A C. 1908. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2026. szeptemberi matematika feladatai