A C. 1909. feladat (2026. szeptember)

C. 1909. Az \(\displaystyle ABC\) szabályos háromszög köré írt kör \(\displaystyle A\) pontot nem tartalmazó \(\displaystyle BC\) ívének felezőpontja \(\displaystyle D\), a \(\displaystyle CA\) szakasz felezőpontja \(\displaystyle E\), a \(\displaystyle BC\) szakasz felezőpontja pedig \(\displaystyle F\).

a) Határozzuk meg az \(\displaystyle EBD\sphericalangle\) nagyságát.

b) Legyen az \(\displaystyle F\)-nek az \(\displaystyle E\)-re vonatkozó tükörképe \(\displaystyle F'\). Igazoljuk, hogy az \(\displaystyle F'\) középpontú, \(\displaystyle F'C\) sugarú kör áthalad az \(\displaystyle AB\) oldal felezőpontján.

görög versenyfeladat alapján

(5 pont)

A beküldési határidő 2026. október 12-én LEJÁRT.

Megoldás. a) Legyen a háromszög körülírt körének középpontja \(\displaystyle O\). Ekkor \(\displaystyle BOC\angle=120^\circ\), melyet az \(\displaystyle AO\) egyenes felez, ezért az \(\displaystyle ODB\) egyenlő szárú háromszög egyik szöge \(\displaystyle 60^\circ\)-os. Tehát az \(\displaystyle ODB\) háromszög szabályos, így \(\displaystyle EBD\angle=OBD\angle=60^\circ\).

b) Legyen \(\displaystyle G\) az \(\displaystyle AB\) oldal felezőpontja. Mivel a háromszög szabályos, a \(\displaystyle CG\) súlyvonala egyben az egyik magasságvonala is, ezért a \(\displaystyle CG\) szakaszt merőlegesen felezi az \(\displaystyle EF\) középvonal. Az \(\displaystyle F'\) pont rajta van az \(\displaystyle EF\) egyenesen, tehát a \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle G\) pontoktól egyenlő távol helyezkedik el, így az \(\displaystyle F'\) középpontú, \(\displaystyle C\)-n átmenő kör valóban áthalad a \(\displaystyle G\) ponton.

Statisztika:

181 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	97 versenyző.
4 pontot kapott:	29 versenyző.
3 pontot kapott:	15 versenyző.
2 pontot kapott:	21 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	5 dolgozat.

A KöMaL 2026. szeptemberi matematika feladatai