A C. 1910. feladat (2026. szeptember)

C. 1910. Bogi nagyon szeret kavicsokkal játszani, amelyeket drágaköveknek nevez. Jelenleg \(\displaystyle 4052\) drágaköve van, amelyeket az \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle 4052\) felirattal látott el. A drágaköveit egy piros és egy kék dobozban úgy akarja elhelyezni, hogy minden \(\displaystyle k=1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle 2026\) esetén a \(\displaystyle k\) és a \(\displaystyle 2k\) feliratú kövek különböző dobozban legyenek. Hány lehetősége van Boginak a drágakövek elhelyezésére?

német versenyfeladat

(5 pont)

A beküldési határidő 2026. október 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Feltehető, hogy Bogi a köveket sorszám szerint növekvő sorrendben pakolja a dobozokba, ez az esetszámon nem változtat. Az ilyen sorrendű kőelhelyezések esetén viszont minden páros sorszámú kő helye egyértelmű: a feleakkora számú kő dobozával ellentétes dobozba kell kerülnie. Ha viszont páratlan sorszámú kőhöz érkezik Bogi, akkor nincs megkötés, azt bármelyik dobozba rakhatja.

Átfogalmazva, Boginak pontosan akkor van döntési lehetősége a kavics elhelyezésére, ha a kő páratlan sorszámú, páros sorszám esetén a kő lerakása egyféle dobozba történhet. Tehát a dobozt választó döntések száma egyezik a 4052-nél kisebb páratlan számok számával, azaz 2026-tal.

Mivel Bogi 2026-szor választ kétféle, és 2026-szor egyféle lehetőség közül, ezért az esetek száma \(\displaystyle 2^{2026}\).

Statisztika:

185 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	144 versenyző.
4 pontot kapott:	18 versenyző.
3 pontot kapott:	11 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	3 dolgozat.

A KöMaL 2026. szeptemberi matematika feladatai