A C. 1912. feladat (2026. szeptember)

C. 1912. Legyenek \(\displaystyle a_1\), \(\displaystyle a_2\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle a_{10}\) pozitív, nem feltétlenül különböző egész számok, amelyek összege \(\displaystyle 95\). Mutassuk meg, hogy

\(\displaystyle a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_5^2+a_6^2+a_7^2+a_8^2+a_9^2+a_{10}^2 \geq 905. \)

Mikor teljesül az egyenlőség?

skót versenyfeladat

(5 pont)

A beküldési határidő 2026. október 12-én LEJÁRT.

Megoldás. A tíz szám átlaga \(\displaystyle 9,5\), ezért vezessük be a \(\displaystyle b_i = a_i - 9,5\) jelölést minden \(\displaystyle i=1, 2, \ldots, 10\) értékre. Ekkor persze \(\displaystyle b_1 + b_2 + \ldots + b_{10} = 0\).

Jelöljük \(\displaystyle S\)-sel, és írjuk át a feladatban megadott kifejezést:

\(\displaystyle S = a_1^2+a_2^2+ \ldots +a_{10}^2 = (b_1 + 9,5)^2 + (b_2+9,5)^2 + \ldots + (b_{10} + 9,5)^2 = (b_1^2 + 19b_1 + 9,5^2) + (b_2^2 + 19b_2 + 9,5^2) + \ldots + (b_{10}^2 + 19b_{10} + 9,5^2) = b_1^2 + b_2^2 + \ldots + b_{10}^2 + 19(b_1+ b_2 + \ldots + b_{10}) + 902,5 = b_1^2 + b_2^2 + \ldots + b_{10}^2 + 902,5.\)

Mivel minden \(\displaystyle a_i\) egész, így minden \(\displaystyle b_i\) nemegész, tehát \(\displaystyle \vert b_i \vert \geq 0,5\), amiből \(\displaystyle b_i^2 \geq 0,25\).

Így tehát \(\displaystyle S = b_1^2 + b_2^2 + \ldots + b_{10}^2 + 902,5 \geq 10 \cdot 0,25 + 902,5 = 905.\)

Az egyenlőség esetének vizsgálatához vegyük észre, hogy \(\displaystyle \vert b_i \vert \geq 0,5\) miatt szükséges \(\displaystyle \vert b_i \vert = 0,5\), azaz \(\displaystyle b_i = -0,5\) vagy \(\displaystyle b_i =0,5\) minden \(\displaystyle i\)-re. Továbbá \(\displaystyle b_1 + b_2 + \ldots + b_{10} = 0\) miatt szükséges, hogy a \(\displaystyle b_i\)-k közül 5 darab értéke \(\displaystyle 0,5\) legyen, míg a másik 5 darab értéke \(\displaystyle -0,5\). Ekkor öt darab \(\displaystyle a_i\) értéke \(\displaystyle 10\), míg a másik öt darab értéke \(\displaystyle 9\). (Ellenőrizhető, hogy ekkor \(\displaystyle a_1 + a_2 + \ldots + a_{10} = 95.\))

Statisztika:

59 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bajkai Kamilla, Bense Tamás, Bora Ádám, Boromisza Léna Júlia, Chen Zhibo, Csécsei Loretta, Dulai Karolina, Farkas Noémi , Gáspár Áron, Halmosi Dávid, Ivák László, Kámán-Gausz Péter, Kása Richárd Zsolt, Kovács Krisztián Zsolt, Kun Milán, Kun Petra, Lakatos Levente, Magyar Levente Árpád, Mateas Isabelle, Máthé Csongor Örs, Medgyesi András, Mező Bálint, Molnár Boldizsár, Molnár Levente, Murai Balázs, Nelissen Sámuel Zalán, Németh Ábel, Nguyen Dang Thuy Chi, Papp Emese Petra, Péter Tamás, Robb Horkay Jázmin, Szedmák Szabrina, Szighardt Anna, Viczián Adél, Zagyi Zsófia, Zsilák Márk Péter	(36 versenyző).
4 pontot kapott:	Hicsó Máté Kristóf, Kolar József Benjámin, Kudomrák Lili Anna , Máté Kristóf, Paál Natália, Papp 77 Vanda, Raj Tamara, Vata Luca, Zita Vivien	(9 versenyző).
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2026. szeptemberi matematika feladatai