Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 808. feladat (2005. április)

C. 808. Oldjuk meg a {3x}²+{x}²=1 egyenletet.

(5 pont)

A beküldési határidő 2005. május 17-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel az {x} és {3x} függvények periodikusak (1, illetve 1/3 periódussal), ezért elég a 0 $\leq$ x<1 intervallumban vizsgálni a megoldásokat. Három esetet különböztetünk meg.

1) 0 $\leq$ x<1/3, a függvény (3x)²+x² alakú. Ekkor a 9x²+x²=1 egyenletből $x={1\over\sqrt{10}}$ .

2) Ha 1/3 $\leq$ x<2/3, akkor a függvény x²+(3x-1)² alakú. Az x²+9x²-6x+1=1 egyenletből x=3/5.

3) Ha 2/3 $\leq$ x<1, akkor (3x-2)²+x²=1, innen $x={6\pm\sqrt6\over10}$ , de a két megoldásból csak az egyik eleme az intervallumnak: $x={6+\sqrt6\over10}$ .

Helyettesítéssel ellenőrizhetjük, hogy ezek valóban megoldásai az egyenletnek.

Az egyenletnek tehát végtelen sok megoldása van, minden egész intervallumban három:

$x_1={1\over\sqrt{10}}+k; \,\,\,\,\,\,\,x_2={3\over5}+k;\,\,\,\,\,\,\, x_3={6+\sqrt6\over10}+k \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(k\in\Bbb Z).$

Statisztika:

139 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: 67 versenyző.

4 pontot kapott: 17 versenyző.

3 pontot kapott: 7 versenyző.

2 pontot kapott: 28 versenyző.

1 pontot kapott: 11 versenyző.

0 pontot kapott: 9 versenyző.

A KöMaL 2005. áprilisi matematika feladatai

139 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	67 versenyző.
4 pontot kapott:	17 versenyző.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	28 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.