Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 859. feladat (2006. május)

C. 859. Bizonyítsuk be, hogy bármely háromszögben:

c^2+2ab\sin\, (\gamma+30^{\circ}) =b^2+2ac\sin\, (\beta+30^{\circ}) =a^2+2bc\sin\, (\alpha+30^{\circ}).

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2006. június 15-én LEJÁRT.

Megoldás.

c^2+2ab\sin\left(\gamma+30^{\circ}\right)= c^2+2ab\left(\sin\gamma\cdot{\sqrt3\over2}+\cos\gamma\cdot{1\over2}\right)= c^2+ab\sin\gamma\cdot\sqrt3+ab\cos\gamma=

=c^2+2t\cdot\sqrt3+ab\cdot{a^2+b^2-c^2\over2ab}=2\sqrt3\cdot t+{a^2+b^2+c^2\over2}.

Ez konstans. Vagyis az egyenlőség valóban teljesül, mert mindhárom ezzel a konstanssal egyenlő.

Statisztika:

100 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:88 versenyző.
4 pontot kapott:7 versenyző.
3 pontot kapott:1 versenyző.
2 pontot kapott:2 versenyző.
1 pontot kapott:1 versenyző.
Nem versenyszerű:1 dolgozat.

A KöMaL 2006. májusi matematika feladatai