A C. 860. feladat (2006. szeptember)

C. 860. Egy 500 embert érintő felmérés során kiderült, hogy a megkérdezettek 46%-a szereti az eper, 71%-a a vanília, 85%-a csokoládé fagylaltot. Van-e a megkérdezettek között hat olyan ember, aki mind a háromféle fagylaltot szereti?

(5 pont)

A beküldési határidő 2006. október 16-án LEJÁRT.

Megoldás: Van.

A Venn-diagram alapján a következő egyenleteket írhatjuk föl:

a+b+c+d+e+f+g+h=500,

a+b+f+g=0,46^.500=230,

b+c+d+g=0,71^.500=355,

d+e+f+g=0,85^.500=425.

Ezek alapján

500-(230+355+425)=-510=(a+b+c+d+e+f+g+h)-(a+b+f+g)-(b+c+d+g)-(d+e+f+g)=h-(b+d+f+2g).

Vagyis (b+d+f+g)+g=500+(10+h), és mivel b+d+f+g legfeljebb 500, a jobboldal viszont legalább 510, ezért g legalább 10. Vagyis legalább 10 olyan ember van, aki mind a háromféle fagylaltot szereti.

Statisztika:

683 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	577 versenyző.
4 pontot kapott:	13 versenyző.
3 pontot kapott:	25 versenyző.
2 pontot kapott:	15 versenyző.
1 pontot kapott:	9 versenyző.
0 pontot kapott:	34 versenyző.
Nem versenyszerű:	10 dolgozat.

A KöMaL 2006. szeptemberi matematika feladatai