 |
A C. 888. feladat (2007. február) |
C. 888. A 6 egység élű kocka felszínének és térfogatának a mérőszáma is 216. Adjuk meg az összes ilyen tulajdonságú négyzetes oszlopot, vagyis azokat, amelyeknek az élei egész hosszúságúak, továbbá a felszín és térfogat mérőszáma egyenlő.
(5 pont)
A beküldési határidő 2007. március 19-én LEJÁRT.
Megoldás. Jelölje a négyzet oldalát a, a hasáb másik élét pedig b. Ekkor a2b=2a2+4ab, ami a>0 miatt pontosan akkor teljesül, ha ab=2a+4b. Ekvivalens átalakításokkal a(b-2)=4b, majd (mivel b=2 nem megoldás)
Tehát b-2 osztója 8-nak. Mivel b pozitív, ezért b-2 lehetséges értékei -1, 1, 2, 4 és 8. A -1 esetén a negatív lenne. A többi esetben rendre a következő megoldásokat kapjuk:
(a,b)=(12,3); (8,4); (6,6); (5,10).
Statisztika:
345 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 287 versenyző. 4 pontot kapott: 17 versenyző. 3 pontot kapott: 17 versenyző. 2 pontot kapott: 9 versenyző. 1 pontot kapott: 4 versenyző. 0 pontot kapott: 10 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2007. februári matematika feladatai