Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 891. feladat (2007. március)

C. 891. Legfeljebb hány oldalú lehet az a konvex sokszög, amelynek belső szögei d=1^o differenciájú számtani sorozatot alkotnak?

(5 pont)

A beküldési határidő 2007. április 16-án LEJÁRT.

Megoldás. Az n oldalú konvex sokszög legkisebb szöge legyen $\alpha$ (a fokok kiírásától innentől kezdve eltekintünk), legnagyobb szöge ekkor $\alpha$ +n-1, belső szögeinek az összege pedig

$\frac{(2\alpha+n-1)n}{2}=(n-2)180.$

Innen

$\alpha=\frac{-n^2+361n-720}{2n}.$

Tudjuk, hogy a sokszög legnagyobb szöge is kisebb 180-nál, tehát

$\alpha$ +n-1<180,

amiből

n²-n-720<0.

Emiatt n legfeljebb 27, ekkor a legkisebb szög $\alpha$ =153 2/3, a legnagyobb szög pedig $\alpha$ +26=189 2/3.

Statisztika:

214 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: 92 versenyző.

4 pontot kapott: 17 versenyző.

3 pontot kapott: 18 versenyző.

2 pontot kapott: 19 versenyző.

1 pontot kapott: 24 versenyző.

0 pontot kapott: 31 versenyző.

Nem versenyszerű: 13 dolgozat.

A KöMaL 2007. márciusi matematika feladatai

214 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	92 versenyző.
4 pontot kapott:	17 versenyző.
3 pontot kapott:	18 versenyző.
2 pontot kapott:	19 versenyző.
1 pontot kapott:	24 versenyző.
0 pontot kapott:	31 versenyző.
Nem versenyszerű:	13 dolgozat.