Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 956. feladat (2008. október)

C. 956. Egy sokszög oldalainak számát megkétszerezzük. Melyek azok a sokszögek, amelyek esetén az új sokszög szögeinek összege egész számú többszöröse az eredeti sokszög szögösszegének?

(5 pont)

A beküldési határidő 2008. november 17-én LEJÁRT.


Megoldás. Az eredeti sokszög szögösszege: (n-2).180o, az új sokszögben a szögösszeg: (2n-2).180o. A feladat kérdése így is megfogalmazható: Lehet-e egész szám a \frac{(2n-2)\cdot180^{\circ}}{(n-2)\cdot180^{\circ}}, ha n 2-nél nagyobb egész?

Nézzük a következő átalakítást: \frac{2n-2}{n-2}=2+\frac{2}{n-2}. Ez alapján n-2 és így n értéke is négyféle lehet:

n-2 -2 -1 1 2
n 0 1 3 4

Ebből csak az n=3 és n=4 megfelelő. Vagyis háromszög és négyszög esetén lehetséges. (Ezek valóban jók. A szögek összege háromszög esetén: 180o, hatszög esetén: 4.180o; négyszög esetén: 360o, nyolcszög esetén: 3.360o.)


Statisztika:

465 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:166 versenyző.
4 pontot kapott:137 versenyző.
3 pontot kapott:102 versenyző.
2 pontot kapott:25 versenyző.
1 pontot kapott:20 versenyző.
0 pontot kapott:11 versenyző.
Nem versenyszerű:4 dolgozat.

A KöMaL 2008. októberi matematika feladatai