Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 986. feladat (2009. április)

C. 986. Adjuk meg az összes olyan egész számot, amely lehet egy szabályos sokszög belső szögének fokban kifejezett mérőszáma.

(5 pont)

A beküldési határidő 2009. május 15-én LEJÁRT.


Megoldás. Az n oldalú konvex sokszög belső szögeinek összege (n-2).180o. Tudjuk, hogy egy szabályos sokszög minden belső szöge egyenlő, ezért minden csúcsnál a belső szög nagysága \frac{(n-2)\cdot180^{\circ}}{n}=\frac{n\cdot180^{\circ}-360^{\circ}}{n}=180^{\circ}-\frac{360^{\circ}}{n}. Vagyis azt kell megvizsgálnunk, hogy milyen n\geq3 egész szám esetén lesz a 180-\frac{360}{n} is egész. A 360=23.32.5 osztóit kell megkeresnünk, de kihagyjuk az 1, 2 értékeket (ilyen oldalszámmal nem létezik sokszög).

22-féle olyan szabályos sokszög van, amelyben a belső szögek fokokban mért mérőszáma egész szám. Az oldalak száma a következő 22 szám lehet:

3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360.

Az n oldalszám ismeretében a 180^{\circ}-\frac{360^{\circ}}{n} képlettel kiszámítjuk a megfelelő szabályos sokszög egy szögének mérőszámát. A következő számokat kapjuk:

60, 90, 108, 120, 135, 140, 144, 150, 156, 160, 162, 165, 168, 170, 171, 172, 174, 175, 176, 177, 178, 179.


Statisztika:

204 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:126 versenyző.
4 pontot kapott:27 versenyző.
3 pontot kapott:17 versenyző.
2 pontot kapott:3 versenyző.
1 pontot kapott:11 versenyző.
0 pontot kapott:9 versenyző.
Nem versenyszerű:11 dolgozat.

A KöMaL 2009. áprilisi matematika feladatai