 |
A G. 683. feladat (2019. október) |
G. 683. Van két egyforma (piros) ellenállásunk és másik két egyforma (kék) ellenállásunk. Melyik kapcsolásban nagyobb az eredő ellenállás, ha
\(\displaystyle a)\) a két pirosat és a két kéket is sorba, majd ezeket párhuzamosan kapcsoljuk;
\(\displaystyle b)\) egy-egy piros és kék ellenállást sorba, ezeket pedig párhuzamosan kapcsoljuk?
(4 pont)
A beküldési határidő 2019. november 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Jelöljük a piros ellenállás értékét \(\displaystyle x\)-szel, a kékét pedig \(\displaystyle y\)-nal! Az \(\displaystyle a)\) esetben \(\displaystyle 2x\) és \(\displaystyle 2y\) párhuzamos eredőjét kapjuk:
\(\displaystyle R_a=\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}\right)^{-1}=\frac{2xy}{x+y},\)
a \(\displaystyle b)\) esetben pedig két egyforma, \(\displaystyle x+y\) nagyságú ellenállás párhuzamos eredőjét:
\(\displaystyle R_b=\frac{x+y}{2}.\)
Könnyen beláthatjuk, hogy \(\displaystyle R_a\le R_b\), hiszen
\(\displaystyle \frac{R_a}{R_b}=\frac{xy}{\left(\frac{x+y}{2}\right)^2},\)
ami a számtani- és mértani közepekre vonatkozó egyenlőtlenség miatt 1-nél kisebb, vagy \(\displaystyle x=y\) esetben éppen 1-gyel egyenlő. Ugyanezt így is beláthatjuk:
\(\displaystyle R_b-R_a=\frac{x+y}{2}-\frac{2xy}{x+y}= \frac{(x+y)^2-4xy}{2(x+y)} =\frac{(x-y)^2}{2(x+y)}\ge 0,\)
hiszen \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) pozitív értékűek.
Statisztika:
A KöMaL 2019. októberi fizika feladatai