A G. 772. feladat (2022. február)

G. 772. A gyerekek körjátékot játszanak a mezőn. Szerencsétlen módon a kör közepén álló társuk darázsfészekbe lép, és a mérges darazsak szétrepülnek. A mezőn keleti irányból 4,5 m/s sebességű szél fúj, a gyerekek 6 m/s nagyságú sebességgel sugárirányban menekülnek. A tudósok vizsgálata szerint ezek a darazsak szélcsendben 8 m/s sebességgel tudnak repülni. Becsüljük meg, hogy a gyerekek hány százaléka menekül meg biztosan a darázscsípésektől! A válasz megadásához használhatunk akár vonalzót, körzőt és szögmérőt is.

(4 pont)

A beküldési határidő 2022. március 16-án LEJÁRT.

Megoldás. Ha az \(\displaystyle O\) pontban történt a baleset, akkor a gyerekek \(\displaystyle t\) idő alatt (méter és másodperc egységekben számolva) \(\displaystyle 6\cdot t\) távolságra jutnak el. Ezalatt a darazsak \(\displaystyle 8\cdot t\) távolságra tudnak elrepülni, miközben a szél miatt \(\displaystyle 4{,}5\cdot t\) távolsággal sodródnak el nyugati irányba. A darazsak tehát a \(\displaystyle P\) középpontú, \(\displaystyle 8\,t\) sugarú, az ábrán sötétebben jelölt kör pontjaiba juthatnak el.

Azok a gyerekek menekülnek meg a darázscsípéstől biztosan, akik a folytonos vonallal jelölt \(\displaystyle AB\) ív irányába, a darazsak által elért sötétebb tartományt elkerülve kezdtek el szaladni. Az ő arányuk az összes gyerekhez képest kb. \(\displaystyle \frac{\varphi}{360^\circ}\). Ez az arányszám nem függ a \(\displaystyle t\) időtartamtól, hiszen az idő múltával az ábra arányai nem változnak, csak a mérete nővekszik.

A szerkesztés menete:

1. Körzővel rajzolunk egy 6 egység sugarú, \(\displaystyle O\) középpontú kört.

2. Vonalzóval felmérünk egy 4,5 egység hosszú, az \(\displaystyle O\) ponttól induló (tetszőleges irányú) szakaszt.

3. A szakasz másik végpontja \(\displaystyle (P)\) köré körzővel rajzolunk egy 8 egység sugarú kört.

4. Szögmérővel lemérjük a \(\displaystyle \varphi\) szöget, és azt találjuk, hogy \(\displaystyle \varphi\approx 165^\circ\).

5. Kiszámítjuk, hogy a gyerekeknek kb. 46%-a, tehát csaknem a fele menekül meg a darazsaktól.

A kérdéses \(\displaystyle \varphi\) szöget a koszinusztétel segítségével is ki lehet számítani:

\(\displaystyle \cos\frac{\varphi}2=\frac{8^2-6^2-4{,}5^2}{2\cdot 6\cdot4{,}5}=0{,}144,\)

vagyis

\(\displaystyle \frac{\varphi}2=81{,}75^\circ,\qquad \text{tehát}\qquad \frac{\varphi}{360^\circ}=0{,}454=45{,}4\%.\)

Statisztika:

21 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Csilling Dániel, Hruby Laura, Kiss 668 Benedek, Marosi Botond Máté, Medgyesi Júlia, Richlik Márton, Sütő Áron, Téglás Dorka.
3 pontot kapott:	Biró Kata, Bocor Gergely, Csóka Péter, Fáklya Balázs Zoltán, Fehérvári Donát, Klement Tamás, Nagy 639 Csenge.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2022. februári fizika feladatai