 |
A G. 915. feladat (2026. február) |
G. 915. Egy \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) oldalélű háromszög alakú, vékony lemez homogén tömegeloszlású, súlya \(\displaystyle G\). A lemezt vízszintes helyzetben, a háromszög csúcsainál alátámasztjuk. Mekkora erővel terheli a lemez az alátámasztási pontokat?
(4 pont)
A beküldési határidő 2026. március 16-án LEJÁRT.
I. megoldás. Egy homogén háromszöglemez tömegközéppontja a háromszög geometriai súlypontjával esik egybe. A háromszöglemez egyensúlyának feltétele, hogy a rá ható erők és forgatónyomatékok eredője egyaránt nulla legyen. Vizsgáljuk a forgatónyomatékot a háromszög egyik (mondjuk \(\displaystyle AB\)) oldalán átmenő \(\displaystyle t\) tengelyre vonatkozóan (lásd az ábrát)! Erre a tengelyre nézve csak az \(\displaystyle S\) súlypontban ható nehézségi erőnek és a \(\displaystyle C\) csúcsban ható \(\displaystyle F_C\) nyomóerőnek van forgatónyomatéka, ezért:
\(\displaystyle k_1G−k_2F_C=0,\)
ahol \(\displaystyle k_1\) és \(\displaystyle k_2\) a megfelelő erőkarok hosszát jelöli.
Mivel a súlypont harmadolja a súlyvonalat, így (az ábrán látható hasonló derékszögű háromszögek miatt) az \(\displaystyle S\) pont éppen harmadakkora távolságra van a \(\displaystyle t\) tengelytől, mint a háromszög \(\displaystyle C\) csúcsa, azaz \(\displaystyle k_2=3k_1\). Ebből \(\displaystyle F_C=G/3\). A többi oldalra is hasonlóan felírva a forgatónyomatékok egyensúlyát adódik, hogy a másik három csúcsnál ható támasztóerő is ugyanekkora:
\(\displaystyle F_A=F_B=F_C=\frac{1}{3}G,\)
függetlenül a háromszög oldalainak hosszától!
II. megoldás. Használjuk ki, hogy a háromszöglemez súlypontja ugyanott van, mintha három egyforma tömegpontot helyeznénk a háromszög csúcsaiba. Ebből már következik, hogy a csúcsokban ható támaszerők egyforma nagyok, mégpedig a háromszög súlyának harmadával egyeznek meg. Még arra sincs szükség, hogy a háromszög síkja vízszintes legyen. Egyedül akkor nem teljesül ez, ha a háromszög síkja függőleges.
III. megoldás. A feladat vektorokkal is megoldható. Origónak a háromszög súlypontját választva a csúcsokba mutató \(\displaystyle \boldsymbol{r}_A\), \(\displaystyle \boldsymbol{r}_B\), \(\displaystyle \boldsymbol{r}_C\) vektorokra fennáll az
\(\displaystyle \boldsymbol{r}_A+\boldsymbol{r}_B+\boldsymbol{r}_C=0\)
összefüggés. A súlypontra vonatkoztatott forgatónyomatékok egyensúlyát az
\(\displaystyle \boldsymbol{r}_A\times\boldsymbol{F}_A+\boldsymbol{r}_B\times\boldsymbol{F}_B+\boldsymbol{r}_C\times\boldsymbol{F}_C=0\)
egyenlet fejezi ki. A fenti két egyenletből \(\displaystyle \boldsymbol{r}_C\) kiküszöbölésével, majd rendezéssel az
\(\displaystyle \boldsymbol{r}_A\times(\boldsymbol{F}_A−\boldsymbol{F}_C)=\boldsymbol{r}_B\times(\boldsymbol{F}_C−\boldsymbol{F}_B)\)
összefüggésre jutunk. A bal oldalon álló vektor merőleges \(\displaystyle \boldsymbol{r}_A\)-ra, a jobb oldali vektor merőleges \(\displaystyle \boldsymbol{r}_B\)-re. Mivel \(\displaystyle \boldsymbol{r}_A\) és \(\displaystyle \boldsymbol{r}_B\) nem párhuzamos vektorok, így az egyenlőség csak akkor teljesülhet, ha mindkét oldalon nullvektor áll. Ezek szerint \(\displaystyle \boldsymbol{F}_A=\boldsymbol{F}_B=\boldsymbol{F}_C\), azaz a három alátámasztási pontban egyenlő, \(\displaystyle G/3\) nagyságú erő hat.
A levezetés sehol nem használta ki, hogy a háromszöglap vízszintes.
Statisztika:
A G. 915. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2026. februári fizika feladatai