A G. 915. feladat (2026. február)

G. 915. Egy \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) oldalélű háromszög alakú, vékony lemez homogén tömegeloszlású, súlya \(\displaystyle G\). A lemezt vízszintes helyzetben, a háromszög csúcsainál alátámasztjuk. Mekkora erővel terheli a lemez az alátámasztási pontokat?

(4 pont)

A beküldési határidő 2026. március 16-án LEJÁRT.

I. megoldás. Egy homogén háromszöglemez tömegközéppontja a háromszög geometriai súlypontjával esik egybe. A háromszöglemez egyensúlyának feltétele, hogy a rá ható erők és forgatónyomatékok eredője egyaránt nulla legyen. Vizsgáljuk a forgatónyomatékot a háromszög egyik (mondjuk \(\displaystyle AB\)) oldalán átmenő \(\displaystyle t\) tengelyre vonatkozóan (lásd az ábrát)! Erre a tengelyre nézve csak az \(\displaystyle S\) súlypontban ható nehézségi erőnek és a \(\displaystyle C\) csúcsban ható \(\displaystyle F_C\) nyomóerőnek van forgatónyomatéka, ezért:

\(\displaystyle k_1G−k_2F_C=0,\)

ahol \(\displaystyle k_1\) és \(\displaystyle k_2\) a megfelelő erőkarok hosszát jelöli.

Mivel a súlypont harmadolja a súlyvonalat, így (az ábrán látható hasonló derékszögű háromszögek miatt) az \(\displaystyle S\) pont éppen harmadakkora távolságra van a \(\displaystyle t\) tengelytől, mint a háromszög \(\displaystyle C\) csúcsa, azaz \(\displaystyle k_2=3k_1\). Ebből \(\displaystyle F_C=G/3\). A többi oldalra is hasonlóan felírva a forgatónyomatékok egyensúlyát adódik, hogy a másik három csúcsnál ható támasztóerő is ugyanekkora:

\(\displaystyle F_A=F_B=F_C=\frac{1}{3}G,\)

függetlenül a háromszög oldalainak hosszától!

II. megoldás. Használjuk ki, hogy a háromszöglemez súlypontja ugyanott van, mintha három egyforma tömegpontot helyeznénk a háromszög csúcsaiba. Ebből már következik, hogy a csúcsokban ható támaszerők egyforma nagyok, mégpedig a háromszög súlyának harmadával egyeznek meg. Még arra sincs szükség, hogy a háromszög síkja vízszintes legyen. Egyedül akkor nem teljesül ez, ha a háromszög síkja függőleges.

III. megoldás. A feladat vektorokkal is megoldható. Origónak a háromszög súlypontját választva a csúcsokba mutató \(\displaystyle \boldsymbol{r}_A\), \(\displaystyle \boldsymbol{r}_B\), \(\displaystyle \boldsymbol{r}_C\) vektorokra fennáll az

\(\displaystyle \boldsymbol{r}_A+\boldsymbol{r}_B+\boldsymbol{r}_C=0\)

összefüggés. A súlypontra vonatkoztatott forgatónyomatékok egyensúlyát az

\(\displaystyle \boldsymbol{r}_A\times\boldsymbol{F}_A+\boldsymbol{r}_B\times\boldsymbol{F}_B+\boldsymbol{r}_C\times\boldsymbol{F}_C=0\)

egyenlet fejezi ki. A fenti két egyenletből \(\displaystyle \boldsymbol{r}_C\) kiküszöbölésével, majd rendezéssel az

\(\displaystyle \boldsymbol{r}_A\times(\boldsymbol{F}_A−\boldsymbol{F}_C)=\boldsymbol{r}_B\times(\boldsymbol{F}_C−\boldsymbol{F}_B)\)

összefüggésre jutunk. A bal oldalon álló vektor merőleges \(\displaystyle \boldsymbol{r}_A\)-ra, a jobb oldali vektor merőleges \(\displaystyle \boldsymbol{r}_B\)-re. Mivel \(\displaystyle \boldsymbol{r}_A\) és \(\displaystyle \boldsymbol{r}_B\) nem párhuzamos vektorok, így az egyenlőség csak akkor teljesülhet, ha mindkét oldalon nullvektor áll. Ezek szerint \(\displaystyle \boldsymbol{F}_A=\boldsymbol{F}_B=\boldsymbol{F}_C\), azaz a három alátámasztási pontban egyenlő, \(\displaystyle G/3\) nagyságú erő hat.

A levezetés sehol nem használta ki, hogy a háromszöglap vízszintes.

Statisztika:

40 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Balassa Ádám, Blaskovics Bálint, Börcsök Péter, Buliczka Csombor, Csabai Blanka, Csikós Attila, Horváth 019 Bálint, Majer Veronika, Mező Bence, Németh Martin, Schneider Viola, Sőtér Hunor Marcell, Sőtér Jázmin Sára, Szabó Ábel, Szighardt Anna, Tóth Domonkos, Török Sebestyén András, Zsilák Márk Péter.
3 pontot kapott:	Szabó Jázmin, Szabó Zsombor, Villant Vanda.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	10 versenyző.

A KöMaL 2026. februári fizika feladatai