A G. 917. feladat (2026. március)

G. 917. Egy országúti kerékpárversenyen a szökevények egy csoportja \(\displaystyle T\) idővel a főmezőny előtt halad, de hosszabb ideje mindenki azonos \(\displaystyle v\) sebességgel mozog. Az útvonal mentén végig reklámfeliratok vannak elhelyezve, ezért a szponzorok kérésére a tévés közvetítés rendezője azt az utasítást adja, hogy az útvonal minden pontját legalább egyszer mutatni kell a tévén. Ezen kívül a szökevényeket és a főmezőnyt átlagosan ugyanannyi ideig kell mutatni, továbbá nem szabad 30 másodpercnél gyakrabban váltogatni a két csoport között. Milyen \(\displaystyle T\) és \(\displaystyle v\) esetén lehet teljesíteni a rendező kívánságait? (A csoportok méretét hanyagoljuk el.)

Közli: Bodor András, Budapest

(4 pont)

A beküldési határidő 2026. április 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Osszuk fel az útvonalat \(\displaystyle vT\) hosszúságú szakaszokra, és vizsgáljunk meg két egymást követő ilyen szakaszt. Amíg a szökevények megteszik a szakasz első felét (és ezt mutatja a tévé), addig a főmezőny megteszi az eggyel hátrább lévő szakasz első felét, amit nem mutat a tévé (hiszen ezt már korábban mutatták a szökevényekkel). Jön a váltás, és a vizsgált szakasz második felén nem mutatják a szökevényeket, mert ekkor a hátrébb lévő szakasz második felén van a főmezőny, amit mutat a tévé.

Mindezt egy alkalmasan választott út-idő diagramon is szemléltethetjük (1. ábra). A kamerák bekapcsolt állapotát zöld, kikapcsolt állapotát piros vonal jelzi az út-idő diagramon.

1. ábra

Ezzel a módszerrel a szökevényeket \(\displaystyle T/2\) ideig mutatják a szakaszok első felén, majd ugyancsak \(\displaystyle T/2\) ideig mutatják a főmezőnyt, akik a szakaszok második felét teszik meg. A \(\displaystyle v\) sebességgel mozgó (1. jelzésű) kamera egy \(\displaystyle vT/2\) hosszúságú szakaszt mutat, majd a közvetítés átvált egy \(\displaystyle vT\) távolsággal hátrább lévő (2. jelzésű) kamerára, és az ott kimaradt, szintén \(\displaystyle vT/2\) hosszú szakaszt mutatja, majd megint visszavált a \(\displaystyle vT\) távolsággal előrébb lévő kamerára. Ha a zölden jelzett, bekapcsolt állapotú kamerák út–idő vonalait az ábra ,,út'' tengelyére vetítjük, azok teljesen lefedik ezt a tengelyt, tehát teljesül az a rendezői utasítás, hogy az útvonal minden pontját legalább egyszer mutatni kell a tévén.

A 30 másodperces szabály miatt a \(\displaystyle T\) idő nem lehet 60 s-nál rövidebb, de hosszabb lehet. Ha például \(\displaystyle T\) legalább 120 s, akkor a \(\displaystyle T\) időt negyedelni is lehet, hogy érdekesebb legyen a közvetítés. Ezt mutatja a 2. ábra.

2. ábra

A \(\displaystyle v\) sebesség bármilyen lehet, a rendező kívánságait akármilyen kerékpáros sebesség mellett teljesíteni lehet.

Statisztika:

24 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Barát Balázs Botond, Buliczka Csombor, Csikós Attila, Horváth Péter, József Áron, Kovács Artúr-Lehel, Majer Veronika, Szabó Ábel, Szighardt Anna, Villant Vanda, Zsilák Márk Péter.
3 pontot kapott:	Balassa Ádám, Győrffy Réka Rebeka, Kelepecz Kornél Zoltán, Lőrincz Natália, Schneider Viola, Szabó Jázmin, Szabó Zsombor.
2 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2026. márciusi fizika feladatai