 |
A G. 920. feladat (2026. március) |
G. 920. Egy felül nyitott, hőszigetelt tartályban \(\displaystyle 60~{}^{\circ}\mathrm{C}\)-os víz található. A tartály fölötti csapot megnyitjuk, és állandó vízhozammal \(\displaystyle 0~{}^{\circ}\mathrm{C}\)-os vizet engedünk bele. 5 perc után a tartályban lévő, jól elkevert víz hőmérséklete \(\displaystyle 40~{}^{\circ}\mathrm{C}\).
a) Mekkora lesz a tartályban a víz hőmérséklete további 5 perc múlva?
b) A vizet egy órán keresztül engedjük a tartályba. Adjuk meg és ábrázoljuk a tartályban lévő víz hőmérsékletét az idő függvényében!
Tarján Imre fizikaverseny, Szolnok
(4 pont)
A beküldési határidő 2026. április 15-én LEJÁRT.
Megoldás. Belátjuk, hogy a megoldás nem függ attól, hogy mennyi víz van kezdetben a tartályban. Ha például kezdetben a tartályban lévő víz mennyisége 1 liter, ami \(\displaystyle 60\,^\circ\mathrm{C}\)-os, akkor ehhez fél liter \(\displaystyle 0\,^\circ\mathrm{C}\)-os vizet kell kevernünk, hogy a keverék \(\displaystyle 40\,^\circ\mathrm{C}\)-os legyen. Ebben az esetben a csap vízhozama 5 percenként fél liter. Ha megduplázzuk, vagy megháromszorozzuk a tartályban lévő kezdeti vízmennyiséget, akkor meg kell duplázni, illetve megháromszorozni a csap vízhozamát is, hogy ugyanannyi idő után ugyanakkora legyen a keverék hőmérséklete. Könnyebb konkrét számokkal dolgoznunk, ezért a megoldásban ezt az utat követjük. Az egyszerűség kedvéért legyen kezdetben a tartályban 2 liter \(\displaystyle 60\,^\circ\mathrm{C}\)-os víz. Ehhez 1 liter \(\displaystyle 0\,^\circ\mathrm{C}\)-os vizet kell kevernünk, hogy \(\displaystyle 40\,^\circ\mathrm{C}\)-os langyos vizet kapjunk. Tehát a csap vízhozama 5 percenként 1 liter. Feltesszük, hogy jó nagy a tartály.
a) Ha újabb 5 perc múlva további 1 liter \(\displaystyle 0\,^\circ\mathrm{C}\)-os víz jut a \(\displaystyle 40\,^\circ\mathrm{C}\)-os, 3 liter térfogatú keverékbe, akkor \(\displaystyle 30\,^\circ\mathrm{C}\)-os vizet kapunk (egyszerű fejszámolás alapján).
b) Legyen az energia alappontja a \(\displaystyle 0\,^\circ\mathrm{C}\)-hoz rögzítve. A kezdeti 2 liter és \(\displaystyle 60\,^\circ\mathrm{C}\) miatt a tartályban lévő víz kiindulási energiája legyen 120 egység. Mivel \(\displaystyle 0\,^\circ\mathrm{C}\)-os vizet használunk, ez nem növeli az energiát. Ez azt jelenti, hogy 5 percenként a 120 egységet 3-mal, 4-gyel, 5-tel kell osztanunk, és így tovább. Tehát az első 5 perc után \(\displaystyle 120/3=40\,^\circ\mathrm{C}\) lesz a hőmérséklet, a második 5 perc után \(\displaystyle 120/4=30\,^\circ\mathrm{C}\), a harmadik 5 perc után \(\displaystyle 120/5=24\,^\circ\mathrm{C}\), a negyedik 5 perc után \(\displaystyle 120/6=20\,^\circ\mathrm{C}\).
Nagyot ugorva a tizedik 5 perc után \(\displaystyle 120/12=10\,^\circ\mathrm{C}\) lesz a víz hőmérséklete a tartályban. A vége felé már alig változik a hőmérséklet, a tartály előbb-utóbb megtelik, és a víz lassacskán közeledik a \(\displaystyle 0\,^\circ\mathrm{C}\)-hoz.
A hőmérséklet-idő kapcsolat a fordított arányossághoz hasonló, grafikonon ábrázolva hiperbolát kapunk, ahogy ezt az ábra mutatja. A függvény képlete:
\(\displaystyle T=\frac{120}{2+\tfrac{t}{5}},\)
ahol \(\displaystyle t\) értékét percben kell beírnunk, és az eredményt Celsius-fokban kapjuk.
Statisztika:
39 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Balassa Ádám, Borsos Tamás, Csikós Attila, József Áron, Kovács Artúr-Lehel, Majer Veronika, Mező Bence, Schneider Viola, Sőtér Jázmin Sára, Szabó Zsombor, Szighardt Anna, Trellák András Benedek. 3 pontot kapott: Benis Tamás, Blaskovics Bálint, Lőrincz Natália, Medgyesi András, Mesaros Péter , Németh Martin, Sőtér Hunor Marcell, Szabó Ábel, Tasnádi Bendegúz, Tóth Domonkos, Villant Vanda, Zsilák Márk Péter. 2 pontot kapott: 4 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 5 versenyző.
A KöMaL 2026. márciusi fizika feladatai