A G. 921. feladat (2026. április)

G. 921. Gyerekek egy \(\displaystyle 10^\circ\)-os hajlásszögű hegyoldalon szánkóznak. A hegy alján a lejtő vízszintes felületben folytatódik. A jeges hóréteg mindenütt egyforma, így a súrlódási együttható értéke a lejtőn és a vízszintes felületen megegyezik. A szánkó kezdősebesség nélkül indul el a lejtő tetejéről, majd a lejtő aljára érve tovább csúszik a vízszintes szakaszon, ahol végül megáll. A szánkó harmad annyi idő alatt csúszott le a lejtőn, mint amennyi ideig mozgott a vízszintes szakaszon.

a) Hányszor hosszabb utat tett meg a szánkó a vízszintes szakaszon, mint a lejtőn?

b) Határozzuk meg a csúszási súrlódási együttható értékét!

c) A lecsúszás után az egyik gyerek visszahúzza a kiindulási pontra a szánkót. Hányszor több munkát végez a lejtőn, mint a vízszintes részen történő húzás közben? (A gyerek mindig a talajjal párhuzamos erőt fejt ki, és egyenletesen mozog.)

Tarján Imre fizikaverseny, Szolnok

(4 pont)

A beküldési határidő 2026. május 15-én LEJÁRT.

Megoldás. a) A szánkó átlagsebessége a lejtőn is \(\displaystyle v/2\), a vízszintes szakaszon is \(\displaystyle v/2\), ahol \(\displaystyle v\) a szánkó maximális sebessége. Ha tehát a vízszintes szakaszon háromszor annyi ideig mozgott a szánkó, mint a lejtőn, akkor a megtett útja is háromszor akkora.

b) A szánkó a lejtőn gyorsul, a vízszintes szakaszon lassul. Amennyi sebességet nyer a lejtőn, annyit veszít el a vízszintes szakaszon, ezért abszolút értéket használva azt mondhatjuk, hogy \(\displaystyle a_1t_1=a_2t_2\). Ezen kívül tudjuk, hogy \(\displaystyle t_2=3t_1\), valamint \(\displaystyle a_1=g\sin\alpha-\mu g\cos\alpha\), valamint \(\displaystyle a_2=\mu g\). Ennek megfelelően a következő egyenletet írhatjuk fel:

\(\displaystyle g(\sin\alpha-\mu\cos\alpha)t_1=\mu g(3t_1).\)

Az egyenlet megoldása:

\(\displaystyle \mu=\frac{\sin\alpha}{3+\cos\alpha}\approx 0{,}044.\)

c) A szánkót húzó apró termetű, esetleg mélyen lehajolva munkát végző gyerek a vízszintes talajon \(\displaystyle W_1=\mu mg(3s)\) munkát végez, míg a lejtőn \(\displaystyle W_2=mg(\sin\alpha+\mu\cos\alpha)s\) munkát, ahol \(\displaystyle s\) a lejtő hossza, \(\displaystyle m\) pedig a szánkó tömege. A két munkavégzés aránya:

\(\displaystyle \frac{W_2}{W_1}=\frac{mg(\sin\alpha+\mu\cos\alpha)s}{\mu mg(3s)}=\frac{\sin\alpha+\mu\cos\alpha}{3\mu}=1{,}66.\)

Statisztika:

35 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Araczki Ádám, Balassa Ádám, Bischof Márton, Blaskovics Bálint, Borsos Tamás, Börcsök Péter, Csikós Attila, Győrffy Réka Rebeka, Horváth 019 Bálint, Hruby Olivér, Kelepecz Kornél Zoltán, Majer Veronika, Mező Bence, Szabó Ábel, Szighardt Anna, Tasnádi Bendegúz.
3 pontot kapott:	Barát Balázs Botond, Csaba Gréta, József Áron, Lőrincz Natália, Medgyesi András, Németh Martin, Sógor-Jász Soma, Sőtér Hunor Marcell, Szabó Jázmin, Tóth 101 Fruzsina, Zsilák Márk Péter.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2026. áprilisi fizika feladatai