 |
A G. 929. feladat (2026. szeptember) |
G. 929. A múlt század második felében híresek voltak a londoni nagy, piros, emeletes buszok, melyek nyitott hátsó peronnal közlekedtek, ami lehetővé tette a menet közbeni fel- és leszállást. Tegyük fel, hogy egy ilyen busz 18 km/h értékű, állandó nagyságú sebességgel halad, amit egy ember utol akar érni. Legfeljebb milyen messziről indulva képes utolérni a buszt, ha nyugalomból indul, kezdetben sebességét 1 m/s-mal tudja növelni másodpercenként egészen 8 m/s-ig, de 12 s után elfárad, és korábbi gyorsulásával azonos ütemben lelassul 4 m/s-ra?
(4 pont)
A beküldési határidő 2026. október 15-én LEJÁRT.
I. megoldás. A busz 18 km/h-val mozog, ami 5 m/s. Legyen a busz legnagyobb (még elérhető) távolsága kezdetben \(\displaystyle s\). Az ember 5 s alatt éri el a busz sebességét. Ennyi idő alatt a busz 25 m-t, az ember 12,5 m-t tesz meg (mert az ember átlagsebessége 2,5 m/s), vagyis ekkor a közöttük lévő távolság \(\displaystyle s+12{,}5\,\mathrm{m}\)-re nő. A következő 3 s alatt a busz 15 m-t tesz meg, az ember pedig 19,5 m-t (mert ezalatt 6,5 m/s-os átlagsebességgel fut). Így a távolság \(\displaystyle s+8\,\mathrm{m}\)-re csökken. Ezután az ember is, a busz is egyenletesen halad 4 s-ig, tehát a közöttük lévő távolság még 12 m-rel csökken (mert a relatív sebességük 3 m/s). Így a közöttük lévő távolság \(\displaystyle s-4\,\mathrm{m}\)-re csökken. Végül a lassuló ember 3 s alatt megint 4,5 m-rel csökkenti a közöttük lévő távolságot \(\displaystyle s-8,5\,\mathrm{m}\)-re. Tehát akkor tudja elérni az ember a buszt, ha a kezdeti távolság nem több, mint 8,5 m.
Úgy is gondolkodhatunk, hogy a mozgást 15 s-ig érdemes követnünk, mert utána az ember már lassabb lesz, mint a busz, vagyis ha addig nem érte utol, akkor már lemaradt. Ennyi idő alatt a busz 75 m-t tesz meg. Az ember elmozdulása pedig a kezdeti, 8 s-ig tartó, gyorsuló szakaszban (4 m/s-os átlaggal számolva) 32 m, majd az egyenletes mozgáskor szintén 32 m, végül a lassuló, 3 s-ig tartó szakaszban (6,5 m/s-os átlaggal) 19,5 m, ami összesen 83,5 m. Ez 8,5 m-rel hosszabb, mint a busz útja, vagyis maximum ekkora kezdeti távolság esetén érheti utol az ember a buszt. (Ha éppen így történik az utolérés, akkor egyforma sebességgel halad a végén a busz is, meg az ember is, ami biztonságosabbá teszi a felugrást.)
II. megoldás. Ábrázoljuk a buszt utolérni igyekvő ember buszhoz viszonyított sebességét az idő függvényében (ábra). A görbe alatti/feletti terület megadja, mennyivel közeledik/távolodik az ember a buszhoz/busztól. 15 s után már egyre nő a távolságuk, így a mozgást csak addig érdemes vizsgálni.
Az ábra alapján a lemaradás (az első 5 s-ben) 12,5 m, a maximális közeledés 21 m (a kék és a piros területekből). Így legfeljebb \(\displaystyle 21\,\mathrm{m}-12{,}5\,\mathrm{m}=8{,}5\,\mathrm{m}\) távolságból indulva tudja elérni a buszt.
Statisztika:
52 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Bao JiaYu, Barát Balázs Botond, Blaskovics Bálint, Borsos Tamás, Buliczka Csombor, Csabai Blanka, Csurgay Bálint, Fliszár György Bence, Fülöp Menyhért, Győrffy Réka Rebeka, Harangozó Zoltán 789, Kottlík Judit, kovacszalan000, Mező Bence, Németh Martin, Sőtér Hunor Marcell, Sőtér Jázmin Sára, Szabó Ábel, Szabó Dániel, Szabó Jázmin, Szabó Zsombor, Szabó-Medve Boldizsár, Tarjáni Balázs, Trellák András Benedek, Túri Cecília, Turkovits Dalma, Vidyut S Sundar, Vígh Attila , Zsuppán Annamária (29 versenyző). 3 pontot kapott: Adamcsek Ágnes, Bukta Zalán , Fu Zhicheng, Lyndon J. Bai, Sali Dávid, Szakáll Sebestyén, Szoldatics-Nagy Zsófia, Tasnádi Bendegúz, Üveges Miklós, Villant Vanda (10 versenyző). 2 pontot kapott: 5 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 4 dolgozat.
A KöMaL 2026. szeptemberi fizika feladatai