 |
Az I. 694. feladat (2026. március) |
I. 694. Sokaknak okoz fejfájást az alábbihoz hasonló másodfokú egyenlőtlenségek megoldása:
\(\displaystyle \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}\geq \frac{1}{3}. \)
Pedig ezek nem is olyan nehéz feladatok, hiszen nullára rendezve egy tört előjelét kell megvizsgálni, amikor a tört számlálója és nevezője is legfeljebb másodfokú kifejezés.
Nézzük meg egy, már nullára rendezett konkrét példán a megoldást.
\(\displaystyle \frac{x^2-2x+1}{x^2-7x+10}<0. \)
A számlálóból alkotott egyenletnek egy megoldása van, \(\displaystyle x=1\), a nevezőből alkotott egyenletnek kettő, \(\displaystyle x_1=2\) és \(\displaystyle x_2=5\).
A számláló és a nevező mint függvény grafikonja egyaránt felfelé nyíló parabola, a gyökök közötti függvényértékek negatívak, a kisebb gyöknél kisebb és a nagyobb gyöknél nagyobb értékek esetén pozitívak. Foglaljuk táblázatba:
| \(\displaystyle x<1\) | \(\displaystyle x=1\) | \(\displaystyle 1<x<2\) | \(\displaystyle x=2\) | \(\displaystyle 2<x<5\) | \(\displaystyle x=5\) | \(\displaystyle x>5\) | |
| a számláló előjele | pozitív | 0 | pozitív | pozitív | pozitív | pozitív | pozitív |
| a nevező előjele | pozitív | pozitív | pozitív | 0 | negatív | 0 | pozitív |
| a tört előjele | pozitív | 0 | pozitív | \(\displaystyle 2\notin\text{É.T.}\) | negatív | \(\displaystyle 5\notin\text{É.T.}\) | pozitív |
A táblázatból kiolvasható, hogy a fenti egyenlőtlenség akkor teljesül, ha \(\displaystyle x\in\left]2;5\right[\).
Általánosítsuk:
\(\displaystyle \frac{ax^2+bx+c}{dx^2+ex+f}\;\text{relációjel}\;0. \)
A relációjel lehet: \(\displaystyle <\), \(\displaystyle \leq\), \(\displaystyle =\), \(\displaystyle \neq\), \(\displaystyle \geq\) vagy \(\displaystyle >\).
- Nyissunk meg egy üres táblázatkezelő munkafüzetet és a munkafüzet kapja a tort, a munkalap a szamol nevet.
- Készítsük el az első három sor celláinak tartalmát és formátumát a minta szerint.
- Ha az A3:F3 cellákba begépeljük az együtthatókat, a G3 cellába a megfelelő relációjel kódját, akkor az A5:G7 tartomány celláiban jelenjen meg a reláció a minta szerint.
- Számítsuk ki a számláló és a nevező zérushelyeit, amennyiben vannak.
- Készítsük el egy új, kiértékelő nevű munkalapra a kiértékelő táblázatot és a szamol munkalap H6-os cellájába az egyenlőtlenség megoldását.
- Készítsünk értéktáblázatot az 1. sorbeli feliratokkal (\(\displaystyle x\), \(\displaystyle sz(x)\), \(\displaystyle n(x)\) és \(\displaystyle t(x)\)). Az ábrázolási tartománya a zérushelyek minimumánál és maximumánál legyen egy-egy egységgel kisebb és nagyobb. Az \(\displaystyle x\) értékek lépésköze legyen egyenletes, és töltse fel az A2:A102 tartományt.
- Számítsuk ki a B2:B102 tartományban a számláló adott \(\displaystyle x\)-hez tartozó értékeit.
- Számítsuk ki a C2:C102 tartományban a nevező adott \(\displaystyle x\)-hez tartozó értékeit.
- Számítsuk ki a D2:D102 tartományban a tört adott \(\displaystyle x\)-hez tartozó értékeit.
- Egy új, diagram típusú munkalapon ábrázoljuk a számláló és a nevező, továbbá a törtfüggvény grafikonját az adott tartományon.
Segédszámításokat a szamol munkalapon a 8. sor alatt végezhetünk. A megoldásban saját függvény vagy makró nem használható.
Beküldendő egy tömörített i694.zip állományban a tort néven mentett táblázatkezelő munkafüzet, egy rövid dokumentációban pedig a táblázatkezelő neve és verziószáma.
(10 pont)
A beküldési határidő 2026. április 15-én LEJÁRT.
Statisztika:
Az I. 694. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2026. márciusi informatika feladatai