A K/C. 868. feladat (2025. szeptember)

K/C. 868. Öt számkártyára egy-egy egymástól különböző számjegyet írtunk. A számkártyákból először kiraktuk a lehető legnagyobb, majd a lehető legkisebb ötjegyű számot. A két kirakott szám összege 96478 lett. Melyik öt számjegy szerepel a számkártyákon? (A számkártyákat forgatni – tehát például 9-esből 6-ost csinálni – nem szabad.)

(5 pont)

A beküldési határidő 2025. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Két esetet kell megkülönböztetnünk: ha a számjegyek között szerepel a \(\displaystyle 0\), vagy ha nem szerepel.

1. eset. A számjegyek csökkenő sorrendben \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\), \(\displaystyle 0\). Ekkor a legnagyobb ötjegyű szám az \(\displaystyle \overline{abcd0}\), a legkisebb pedig a \(\displaystyle \overline{d0cba}\). Ezek összege \(\displaystyle 10000(a+d)+1000b+200c+10(b+d)+a=96478\). Mivel az első négy tag osztható \(\displaystyle 10\)-zel, ezért csak \(\displaystyle a= 8\) lehetséges. Visszahelyettesítve és rendezve az \(\displaystyle 1000d+100b+20c+b+d=1647\) összefüggést kapjuk. Itt csak \(\displaystyle d=1\) lehetséges, hogy ne haladjuk meg a \(\displaystyle 2000\)-et, de ekkor az egyes helyiérték miatt \(\displaystyle b=6\), majd visszahelyettesítés után \(\displaystyle c= 2\) adódik. Tehát a számkártyákon ebben az esetben a \(\displaystyle 8\), \(\displaystyle 6\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 0\) számjegyek álltak.

2. eset. A számjegyek közt nem szerepel a \(\displaystyle 0\), a számjegyek csökkenő sorrendben \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\), \(\displaystyle e\). Ekkor a legnagyobb \(\displaystyle \overline{abcde}\) és a legkisebb \(\displaystyle \overline{edcba}\) számok összege \(\displaystyle 10001(a+e)+1010(b+d)+200c=96478\). Az egyesek miatt \(\displaystyle a+e = 8\) vagy \(\displaystyle 18\), de ez utóbbi sok lenne. Visszahelyettesítve az \(\displaystyle a+e = 8\) értéket és rendezve az \(\displaystyle 1647 = 101(b+d)+20c\) összefüggést kapjuk. Az egyes helyiérték miatt \(\displaystyle b+d=7\) vagy \(\displaystyle 17\), ez utóbbi viszont ismét sok. Visszahelyettesítve a \(\displaystyle b+d=7\) értéket, \(\displaystyle c=47\) adódik, ami nem jelent megoldást. Így a feladat feltételeinek csak az 1. esetben kapott számkártyák felelnek meg.

Statisztika:

280 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	90 versenyző.
4 pontot kapott:	34 versenyző.
3 pontot kapott:	46 versenyző.
2 pontot kapott:	52 versenyző.
1 pontot kapott:	18 versenyző.
0 pontot kapott:	18 versenyző.
Nem versenyszerű:	12 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	9 dolgozat.

A KöMaL 2025. szeptemberi matematika feladatai