 |
A K/C. 893. feladat (2026. február) |
K/C. 893. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben \(\displaystyle ABC\sphericalangle=15^{\circ}\), \(\displaystyle BCA\sphericalangle=30^{\circ}\), a \(\displaystyle D\) pont pedig úgy helyezkedik el a \(\displaystyle BC\) oldalon, hogy \(\displaystyle ADC\sphericalangle=45^{\circ}\). Igazoljuk, hogy \(\displaystyle D\) a \(\displaystyle BC\) szakasz felezőpontja.
(5 pont)
A beküldési határidő 2026. március 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Válasszuk a \(\displaystyle BC=2a\) jelölést. Bocsássunk merőlegest a \(\displaystyle B\) pontból a \(\displaystyle CA\), az \(\displaystyle A\) pontból a \(\displaystyle BC\) egyenesre, a merőlegesek talppontjai legyenek \(\displaystyle E\), illetve \(\displaystyle T\). Tekintsük az alábbi ábrát.
A \(\displaystyle BCA\sphericalangle=BCE\sphericalangle=30^{\circ}\) miatt \(\displaystyle EBC\sphericalangle=60^{\circ}\), tehát a \(\displaystyle BCE\) háromszög egy szabályos háromszög fele, ezért \(\displaystyle BE=a\), valamint \(\displaystyle \displaystyle{EC=2a\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=a\cdot \sqrt{3}}\).
Nyilvánvaló, hogy \(\displaystyle EBA\sphericalangle=45^{\circ}\), így \(\displaystyle BAE\) egyenlő szárú, derékszögű háromszög, vagyis \(\displaystyle EA=a\), továbbá
\(\displaystyle AC=EC-EA=a\sqrt{3}-a=a\cdot\big(\sqrt{3}-1\big).\)
A \(\displaystyle CAT\) háromszög ugyancsak egy szabályos háromszög fele, ezért \(\displaystyle \displaystyle{AT=a\cdot \frac{\sqrt{3}-1}{2}}\), illetve
\(\displaystyle \displaystyle{TC=a\cdot ({\sqrt{3}-1})\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=a\cdot \frac{3-\sqrt{3}}{2}}.\)
Az \(\displaystyle ADT\) háromszög egyenlő szárú derékszögű háromszög, emiatt \(\displaystyle \displaystyle{DT=AT=a\cdot \frac{\sqrt{3}-1}{2}}\).
A \(\displaystyle DC\) szakasz hossza ezzel:
\(\displaystyle \displaystyle{DC=DT+TC=a\cdot \frac{\sqrt{3}-1}{2}+a\cdot \frac{3-\sqrt{3}}{2}=a}.\)
A kapott eredmény szerint \(\displaystyle DC=\frac{BC}{2}\), tehát a \(\displaystyle D\) pont valóban a \(\displaystyle BC\) szakasz felezőpontja. Ezzel a megoldást befejeztük.
Statisztika:
A K/C. 893. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2026. februári matematika feladatai