 |
A K/C. 897. feladat (2026. március) |
K/C. 897. Van két hatlapú dobókockánk, mindkettőn \(\displaystyle 1\)-től \(\displaystyle 6\)-ig vannak feltüntetve a számok, az egyiken a szemben lévő számok összege, míg a másikon a szemben lévő számok különbsége mindig azonos. Dobtunk mindkét dobókockával, és mindkettőn ugyanaz a szám került felülre. Mekkora lehet a nyolc oldalsó lapon lévő szám szorzatának második legkisebb és második legnagyobb értéke?
(5 pont)
A beküldési határidő 2026. április 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A számok összege csak úgy lehet azonos a szemközti oldalakon, ha ez az összeg 7 (az 1-6-ig terjedő egész számok összegének harmada). A szemben levő számok különbsége maximum 5 lehet. Az egységes különbség az 5 és a 4 nem lehet, mert ekkor például a 3-nak nem lenne párja, és 2 sem lehet, mert ekkor például a 2-nek és a 6-nak is a 4 kellene, hogy a párja legyen. Az egységes különbség ezért a 3 és az 1 lehet 6-3, 5-2, 4-1, illetve 6-5, 4-3, 2-1 párosításban.
Készítsünk táblázatot az esetekről figyelembe véve, hogy kétféleképpen is lehet azonos a számok különbsége.
A feltüntetett számpárokban az első szám az, ami felül lesz a kockán, a második a vele szemben lévő (így ez kerül alulra).
| Összeg 7 | Különbség 1 | Oldalsó lapokon a számok szorzata | Különbség 3 | Oldalsó lapokon a számok szorzata |
| 6, 1 | 6, 5 | \(\displaystyle 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 2880\) | 6, 3 | \(\displaystyle 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 5 = 4800\) |
| 5, 2 | 5, 6 | \(\displaystyle 1 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 1728\) | 5, 2 | \(\displaystyle 1 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 6 = 5184\) |
| 4, 3 | 4, 3 | \(\displaystyle 1 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 6 = 3600\) | 4, 1 | \(\displaystyle 1 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 6 = 10800\) |
| 3, 4 | 3, 4 | \(\displaystyle 1 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 6 = 3600\) | 3, 6 | \(\displaystyle 1 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 5 = 2400\) |
| 2, 5 | 2, 1 | \(\displaystyle 1 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 25920\) | 2, 5 | \(\displaystyle 1 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 6 = 5184\) |
| 1, 6 | 1, 2 | \(\displaystyle 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 43200\) | 1, 4 | \(\displaystyle 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 6 = 21600\) |
A szorzat akkor lesz a legnagyobb, ha 1-es van felül, és az egyik kockán 6-os, a másikon 2-es van alul. A második legnagyobb, ha 2-es van felül, és az egyik kockán 5-ös, a másikon 1-es van alul. A keresett érték 25920.
A szorzat akkor lesz a legkisebb, ha 5-ös van felül, és az egyik kockán 2-es, a másikon 6-os alul, a második legkisebb, ha 3-as van felül, és az egyik kockán 4-es, a másikon 6-os alul. A keresett érték 2400.
Statisztika:
A K/C. 897. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2026. márciusi matematika feladatai