A K/C. 898. feladat (2026. március)

K/C. 898. Az \(\displaystyle ABCD\) paralelogramma \(\displaystyle A\)-nál lévő szöge \(\displaystyle 60\) fokos, \(\displaystyle AD=20\) cm, \(\displaystyle AB=30\) cm. Az \(\displaystyle AB\) szakasz \(\displaystyle B\)-hez közelebbi harmadolópontja \(\displaystyle E\). Az \(\displaystyle ED\) és \(\displaystyle BC\) szakaszok felezőpontja rendre \(\displaystyle F\) és \(\displaystyle G\). A \(\displaystyle DE\) szakasz mint átmérő fölé írt kör az \(\displaystyle FG\)-t \(\displaystyle H\)-ban metszi. Határozzuk meg a \(\displaystyle DH\) szakasz hosszát.

(5 pont)

A beküldési határidő 2026. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás.

Az \(\displaystyle AE\) szakasz hossza 20 cm, \(\displaystyle EB\) hossza 10 cm. Mivel az \(\displaystyle ADE\) háromszög egyenlő szárú és \(\displaystyle A\)-nál levő szárszöge \(\displaystyle 60\) fok, ezért \(\displaystyle ADE\) szabályos háromszög, tehát \(\displaystyle DE\) hossza is 20 cm. \(\displaystyle FG\) az \(\displaystyle EBCD\) trapéz középvonala, így párhuzamos \(\displaystyle EB\)-vel, vagyis az \(\displaystyle EFH\) szög 60 fokos. A \(\displaystyle DE\) szakasz Thalész-körének középpontja \(\displaystyle F\), sugara 10 cm, ezért az \(\displaystyle EFH\) háromszög 10 cm oldalú szabályos háromszög, így \(\displaystyle FEH\) (és így a \(\displaystyle DEH\)) szög 60 fokos. A \(\displaystyle DEH\) háromszög a Thalész-tétel miatt \(\displaystyle H\)-nál derékszögű, így egy 20 cm oldalú szabályos háromszög fele. A Pitagorasz-tétel alapján \(\displaystyle DH^2 = 20^2 – 10^2\), ahonnan \(\displaystyle DH=10\sqrt3\).

Statisztika:

A K/C. 898. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2026. márciusi matematika feladatai