 |
A K/C. 907. feladat (2026. május) |
K/C. 907. A házfelújítás során a téglalap alakú kamra járólapozása a következő feladatunk. \(\displaystyle 1\times1\)-es, négyzet alakú járólapjaink vannak. A kamra oldalhosszai egész számok (ezen egységben mérve). Hány járólapot kell felhasználni, ha a szélső (tehát fal vagy ajtó menti) járólapok száma fele az összes járólapnak?
Skót versenyfeladat
(5 pont)
A beküldési határidő 2026. június 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Jelölje a téglalap alakú kamránk oldalhosszait \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) (pozitív egész számok). Mivel minden járólap \(\displaystyle 1 \times 1\)-es méretű, így \(\displaystyle xy\) darab járólapot kell felhasználnunk. A szélső járólapok száma \(\displaystyle 2x+2y-4\), így az alábbi egyenlőség teljesül: \(\displaystyle 2x+2y-4 =\frac{xy}{2}\). Ellenőrizhető, hogy az \(\displaystyle x=4\) nem megoldás, így az átalakítás után az \(\displaystyle y=4+\frac{8}{x-4}\) egyenlőség adódik. Mivel \(\displaystyle y\) egész, így a \(\displaystyle \frac{8}{x-4}\) hányados is egész. Ekkor az \(\displaystyle x\geq1\) feltéte miatt (továbbá amiatt, hogy \(\displaystyle x \neq 4\)) \(\displaystyle x-4\) lehetséges értékei \(\displaystyle -2, -1, 1, 2, 4, 8\).
Ezek közül a \(\displaystyle -2\) és a \(\displaystyle -1\) nem megvalósítható, mert \(\displaystyle y\) negatív lenne. Így az alábbi táblázat foglalja össze az \(\displaystyle (x-4), x, y\) és a felhasználandó járólapok számának \(\displaystyle xy\) megengedett értékeit:
| \(\displaystyle x-4\) | \(\displaystyle x\) | \(\displaystyle y\) | \(\displaystyle xy\) |
| 1 | 5 | 12 | 60 |
| 2 | 6 | 8 | 48 |
| 4 | 8 | 6 | 48 |
| 8 | 12 | 5 | 60 |
Tehát 48 vagy 60 járólapot kell felhasználni.
Statisztika:
129 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Araczki Ádám, Bachesz Kende, Barabás Ákos, Blaskovics Bálint, Buliczka Csombor, Csécsei Loretta, Csikós Attila, Csutak András, Egyedi Bernadett, Farkas Réka, Fukuda-Horváth Soma, Fülöp Menyhért, Gyúri Benedek, Hicsó Máté Kristóf, Holló Barnabás, Jánosi Bence, Kallós Klára, Kelepecz Kornél Zoltán, Körmöndi Csanád, Lovas Márk, Mizsei Márton, Nagy Ádám Máté, Nguyen Dang Thuy Chi, Papp Dénes, Pirkhoffer Bence, Rákóczi Bartos, Sasvári Zoltán, Szabó Zoárd, Szighardt Anna, Szőnyi Artúr, Tamás Bálint Gábor, Ujváry-Menyhárt Adrienn, Winkler-Antal Dalma, Zita Vivien , Zsilák Márk Péter. 4 pontot kapott: 81 versenyző. 3 pontot kapott: 6 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 1 dolgozat.
A KöMaL 2026. májusi matematika feladatai