 |
A K/C. 913. feladat (2026. szeptember) |
K/C. 913. Legyenek \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) különböző pozitív számjegyek. Mik legyenek az \(\displaystyle \overline{ABC}\), \(\displaystyle \overline{BCA}\), \(\displaystyle \overline{CAB}\) háromjegyű számok, hogy azok legnagyobb közös osztója a lehető legnagyobb legyen?
Javasolta: Frankl Péter (Tokió)
(5 pont)
A beküldési határidő 2026. október 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen \(\displaystyle D\) a közös osztó. Adjuk össze a három számot: az eredmény 111-szer (A+B+C), ez a \(\displaystyle D\) többszöröse.
\(\displaystyle 111=37\cdot3\). Először vizsgáljuk meg azt az esetet, amikor \(\displaystyle D\) 37 többszöröse. \(\displaystyle 4\cdot37=148\), s ez jó. (481=148+333), 814=481+333, mindhárom 37 többszöröse.
Meg kell még vizsgálni, nem lehet-e ennél nagyobb.
Mivel \(\displaystyle ABC-BCA\) 9-cel is osztható, így a különbség \(\displaystyle 9\cdot37=333\)-mal is. Ezért \(\displaystyle D\) osztója 333-nak.
Mivel a számok különbözőek, \(\displaystyle ABC\) már 111-gyel sem osztható, emiatt azonban \(\displaystyle D\) sem, így \(\displaystyle 37\) többszörösei esetében \(\displaystyle 37\)-nel nagyobb nem lehet \(\displaystyle D\).
Most keressük úgy \(\displaystyle D\)-t, hogy ne legyen \(\displaystyle 37\) többszöröse. Mivel \(\displaystyle D\) osztója \(\displaystyle 111\cdot(A+B+C)\)-nek, ezért \(\displaystyle D\) már a \(\displaystyle 3\cdot(A+B+C)\)-nek is osztója. \(\displaystyle A+B+C\) maximum \(\displaystyle 9+8+7=24 < 37\). Tehát csak a \(\displaystyle D=3\cdot(A+B+C)\) lehet \(\displaystyle 37\)-nél nagyobb. Mivel \(\displaystyle D\) \(\displaystyle 3\) többszöröse, ezért \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) is, tehát \(\displaystyle A+B+C\) is. Ekkor \(\displaystyle D=3\cdot(A+B+C)\) már \(\displaystyle 3\cdot3=9\)-nek is többszöröse, tehát \(\displaystyle A+B+C\) is. Két lehetőség van: \(\displaystyle A+B+C=9\) vagy \(\displaystyle A+B+C=18\). Az elsőre \(\displaystyle D=3\cdot9 <37\). Marad a második lehetőség: \(\displaystyle A+B+C=18\) és \(\displaystyle D=3\cdot (A+B+C)=54\).
Ha \(\displaystyle D=54\), akkor \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) is páros. Mivel az összegük \(\displaystyle 18\), valamilyen sorrendben \(\displaystyle 4\), \(\displaystyle 6\) és \(\displaystyle 8\) kell, hogy legyenek. A belőlük képezhető háromjegyű számok közül pontosan \(\displaystyle 486=9\cdot54\), \(\displaystyle 864=16\cdot54\) és \(\displaystyle 648=12\cdot54\) osztható \(\displaystyle 54\)-gyel.
Így a lehető legnagyobb legnagyobb közös osztó \(\displaystyle 54\), és csak a \(\displaystyle 486\), \(\displaystyle 864\), \(\displaystyle 648\) számhármas esetén kaphatjuk meg azt.
Statisztika:
A K/C. 913. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2026. szeptemberi matematika feladatai