 |
A K. 137. feladat (2007. október) |
K. 137. Az A halmaz elemszáma több, mint a B halmaz elemszáma, de kevesebb, mint B elemszámának kétszerese. Tudjuk továbbá, hogy a B halmaznak 16-tal több részhalmaza van, mint a C halmaznak. Hány részhalmaza lehet az A halmaznak?
(6 pont)
A beküldési határidő 2007. november 10-én LEJÁRT.
Megoldás: Ha a B halmaznak k db eleme van, a C halmaznak pedig n, akkor B részhalmazainak száma 2k, C részhalmazainak száma 2n. Tehát a két kettőhatvány különbsége 16. Ha mindkettő nagyobb 32-nél, akkor a különbségük már akkor is legalább 32, ha szomszédos kettőhatványok. Ha az egyik nagyobb 32-nél, a másik pedig 32 vagy kisebb, akkor is legalább 32 a különbség. Ha mindkettő kisebb vagy egyenlő 32-nél, akkor könnyen ellenőrizhető, hogy csak a 32 és a 16 jelent megoldást. Tehát a B halmaznak 25 db részhalmaza, így 5 eleme van. Mivel az A halmaz elemszáma B elemszámánál több, de B elemszámának kétszeresénél kisebb, ezért az A halmaz 6, 7, 8 vagy 9 elemű, részhalmazainak száma 64, 128, 256 vagy 512 lehet.
Statisztika:
193 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: 105 versenyző. 5 pontot kapott: 23 versenyző. 4 pontot kapott: 10 versenyző. 3 pontot kapott: 7 versenyző. 2 pontot kapott: 10 versenyző. 0 pontot kapott: 32 versenyző. Nem versenyszerű: 6 dolgozat.
A KöMaL 2007. októberi matematika feladatai