 |
A K. 208. feladat (2009. március) |
K. 208. a) Egy koordinátarendszerben megrajzoltuk az origó középpontú, 5 egység sugarú kört. Hány rácspont esik erre a körvonalra? (Rácspontnak nevezzük azokat a pontokat, melyeknek mindkét koordinátája egész szám.)
b) Adjunk meg olyan r egész értéket, melyre az origó középpontú, r sugarú körvonalon több, mint 14 rácspont található. Mutassuk is meg, hogy a megadott r érték eleget tesz a feltételnek.
(6 pont)
A beküldési határidő 2009. április 10-én LEJÁRT.
Megoldás. a) Mivel 52=32+42, és a 25 másképp nem írható fel két pozitív egész négyzetének összegeként, így a megfelelő pontok: (5,0), (0,5), (-5,0), (0-5), (3,4), (4,3), (-3,4), (-4,3), (-3,-4), (-4,-3), (4,-3), (3,-4).Így a rácspontok száma 4+4.2=12.
b) Egy origó középpontú, r sugarú körön található rácspontok száma 4+4.2.k=4+8k, ahol k az r2 két nemnulla négyzetszám összegére való felbontásainak a száma. Ha ez 14-nél nagyobb, akkor a legkisebb megfelelő szám a 20. Ehhez egy olyan r sugár kell, melyet kétféleképpen is fel tudunk bontani két négyzetszám összegére. Induljunk ki például a következő két egyenletből:
| (1) | 32+42=52, |
| (2) | 52+122=132. |
Az elsőt szorozzuk meg 132-nel, a másodikat pedig 52-nel (vagyis egymás "jobb oldalával"):
| (1') | (3.13)2+(4.13)2=(5.13)2, |
| (2') | (5.5)2+(12.5)2=(5.13)2. |
Azt kaptuk, hogy 652=392+522=252+602. Tehát a 65 megfelelő lesz.
Statisztika:
A KöMaL 2009. márciusi matematika feladatai