A K. 227. feladat (2009. november)

K. 227. András és Béla egy nagy szabályos háromszög alakú tér többszöri körbefutásával mindennap készül a mezei futóversenyre. Mindig egyszerre kezdik a futást, és egyenletes sebességgel haladnak. András a háromszög egyik csúcsából, Béla pedig egy másik csúcsából indul egymással szembe. András 4 perc alatt, Béla pedig 5 perc alatt futja le a két szomszédos csúcs közötti távolságot. Találkozhatnak-e futás közben a tér valamelyik csúcsában?

(6 pont)

A beküldési határidő 2009. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. András indulási helyén András 12x percenként, Béla pedig 5+15y percenként lesz. De a 12x = 5+15y egyenletnek nincs pozitív egész megoldása, hiszen a baloldal osztható 3-mal, a jobb oldal pedig nem, hiszen \(\displaystyle 5(3y+1)\)-gyel egyenlő. Béla indulási helyén Béla 15x percenként, András pedig 4+12y percenként lesz. De a 15x = 4+12y egyenletnek nincs pozitív egész megoldása, hiszen a baloldal osztható 3-mal, a jobb oldal pedig nem, hiszen 4(3y+1)-gyel egyenlő. A harmadik csúcsban András 8+12x, Béla pedig 10+15y percenként lesz. De a 8+12x = 10+15y egyenletnek nincs pozitív egész megoldása, hiszen átrendezve: 12x–15y = 2, a bal oldal osztható 3-mal, a jobb oldal pedig nem. Vagyis futás közben a tér semelyik csúcsában nem találkozhatnak.

Statisztika:

184 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Baumgartner Róbert, Bor Julianna, Csóka József, Csuma-Kovács Ádám, Dankovics Viktor, Darabos Kata, Erdélyi Vivien, Girst Gábor, Hartmann Ábel, Horváth 0102 Dániel, Kedves Máté, Kiss 904 Tamara, Kószó 94 Eszter, Marx Anita, Matos Bence, Molnár Vivien, Pusztaházi 124 Luca Sára, Ribényi Gergő, Szabó 262 Lóránt, Thamó Emese, Tusa Csaba, Vecsernyés Tamás, Wiandt Zsófia.
5 pontot kapott:	Balatoni Bence, Deák Judit, Énekes Tamás, Erdős Szilvia, Fekete Gergely, Herényi Barnabás, Homolya Péter, Hopp Norbert, Jakucs Rita Mónika, Kisturi Eszter, Kovács Ágnes, Kovács Milán, Lakatos Andor, Molnár Ákos, Nagy 021 Tibor, Pilinszki - Nagy Csongor, Rácz Kristóf, Rakovszky Dorina, Szekér István, Szentgyörgyi 994 Rita, Szilágyi Gergely Bence, Szkalisity Ábel, Tóth Endre, Ványi Richárd Mihály, Zajacz Anikó.
4 pontot kapott:	13 versenyző.
3 pontot kapott:	77 versenyző.
2 pontot kapott:	23 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	10 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2009. novemberi matematika feladatai