Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A K. 535. feladat (2017. február)

K. 535. El lehet-e helyezni az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 és 10 számokat az ábrán látható csillagötszögben úgy, hogy minden négy számot tartalmazó egyenes mentén az összeg ugyanannyi legyen?

(6 pont)

A beküldési határidő 2017. március 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Minden szám pontosan két összegben szerepel. \(\displaystyle 2 \cdot (1 +2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10) = 110\), így minden egyenes mentén 110 : 5 = 22 kell legyen a számok összege.

Próbáljuk megkeresni, hogy az 1-est tartalmazó két egyenesen mely számok szerepelhetnek még. Hét számnégyes alkotható az 1-10-ig terjedő számokból úgy, hogy a bennük szereplő négy szám összege 22 legyen, és az 1-est tartalmazzák: 1,2 9,10; 1,3,8,10; 1,4,7,10; 1,4,8,9; 1,5,6,10; 1,5,7,9; 1,6,7,8. Annak a két egyenesnek, amelyeknek az 1-es közös eleme, más közös eleme nem lehet. Így a fenti számnégyesekből három olyan pár alkotható, melyek az 1-est tartalmazó két egyenesen szereplő számok lehetnek:

  egyik egyenesen szereplő számokmásik egyenesen szereplő számoka hiányzó számok, melyek másol állnak
I. eset 1,2,9,10 1,6,7,8 3,4,5
II. eset 1,3,8,10 1,5,7,9 2,4,6
III. eset 1,4,8,9 1,5,6,10 2,3,7

I. eset. A 2, 9 és a 10-es számhoz is kell egy-egy számot választani a 6,7 és 8 közül úgy, hogy a 3,4,5 közül valamelyik kettővel az összeg 22 legyen. Nézzük először a 10-et. 22-10-6=6, de 3+4=7 már több a 6-nál. Ha nem a 6-ot, hanem a 7-et vagy a 8-at választjuk, akkor is nagyobb lesz a 7 a szükséges számnál.

II. eset. Az első esethez hasonlóan a 10-et nézzük, hozzá kell az 5, 7 és 9 számok közül választani egyet úgy, hogy a 2,4,6 közül valamelyik kettővel az összeg 22 legyen. Mivel 22-10-5=7, de a 2,4,6-ból képezhető összegek mind párosak, ez nem lehetséges. Az 5 helyett a 7 és a 9 választása esetén is ugyanez a helyzet.

III. eset. Itt a második oszlopban szerepel a 10, amihez a 4,8,vagy 9 közül egyet, illetve a 2,3,7 közül kell kettőt kiválasztani. Ez utóbbi esetén a lehetséges összegek: 2+3=5, 2+7=9 és 3+7=10. Mivel 22-10-4=8, 22-10-8=4 és 22-10-9=3, ezért itt sem jutunk célhoz.

Tehát nem lehet így elrendezni a számokat.

Csikós Patrik (Budapest, XIV. Kerületi Szent István Gimnázium) megoldása alapján


Statisztika:

53 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:Acs Imre, Bérczi Péter, Gém Viktória, Juhász 315 Dorka, Kis 194 Károly, Kovács Fruzsina Dóra, Markó Gábor, Rátki Luca, Rusvai Miklós, Székelyhidi Klára, Szemerédi Előd, Vincze Lilla.
5 pontot kapott:Csikós Patrik, Sándor 111 Réka.
4 pontot kapott:1 versenyző.
3 pontot kapott:1 versenyző.
2 pontot kapott:22 versenyző.
1 pontot kapott:14 versenyző.
0 pontot kapott:1 versenyző.

A KöMaL 2017. februári matematika feladatai