Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A K. 719. feladat (2022. február)

K. 719. Kiszínezzük a számegyenesen az egész számokat jelző pontok mindegyikét kék vagy piros színnel. Igaz-e bármilyen, a feltételnek megfelelő színezés esetén, hogy

\(\displaystyle a)\) biztosan lesz két azonos színű pont, melyek távolsága 3;

\(\displaystyle b)\) biztosan lesz két azonos színű pont, melyek távolsága 3 vagy 4?

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. március 10-én LEJÁRT.


Megoldás. a) Nem igaz. Színezzük a páros számokat jelző pontokat pirosra, a páratlanokat kékre. Ekkor az azonos színű pontok távolsága csak páros lehet, vagyis 3 nem.

Másképp: Nem igaz. Készítünk egy olyan színezést, melyben két azonos színű pont távolsága nem lehet 3.

Legyen a 0 pl. kék. Ekkor a 3 piros, a 6 kék, a 9 piros és így tovább (-3 , -6, -9, … esetén is.)

Legyen az 1 kék, ekkor a 4 piros, a 7 kék, a 10 piros és így tovább (negatív irányban is hasonlóan). . A kék színű 2-ből is hasonlóképpen kiindulva felváltva színezzük a pontokat: az 5 piros, a 8 kék, a 11 piros, stb. (és negatív irányban ugyanígy).

(Ha az egészre ránézünk: hármasával vannak színezve a pontok, \(\displaystyle (0;1;2)\) kék, \(\displaystyle (3;4;5)\) és \(\displaystyle (-3;-4;-5)\) piros, \(\displaystyle (6;7;8)\) és \(\displaystyle (-6;-7;-8)\) kék, stb.; így minden pont harmadszomszédja éppen másik színű, mint ő maga.)

b) Az állítás igaz. Legyen a 0 pl. kék. Ekkor a 3 piros, a 6 kék, a 9 piros és a 12 kék kell legyen, hogy ne legyen két 3 távolságra lévő pont azonos színű. Viszont, ha a 0 kék színű, akkor a 4 piros, a 8 kék és a 12 piros kell legyen, hogy ne legyen két 4 távolságra lévő pont azonos színű. De így a 12 egyszer kék, egyszer piros színű lenne, ami nem lehet, azaz lesz vagy 3, vagy 4 távolságra két azonos színű pont.


Statisztika:

82 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:65 versenyző.
4 pontot kapott:3 versenyző.
3 pontot kapott:2 versenyző.
2 pontot kapott:4 versenyző.
1 pontot kapott:1 versenyző.
0 pontot kapott:4 versenyző.
Nem versenyszerű:1 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:2 dolgozat.

A KöMaL 2022. februári matematika feladatai