A K. 730. feladat (2022. szeptember)

K. 730. Behúztuk egy kör nyolc húrját úgy, hogy a húrok metszéspontjainak száma a lehető legtöbb legyen. Hány részre bontja ekkor ez a nyolc húr a körlapot?

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A lehető legtöbb metszéspont akkor lesz, ha minden húr minden húrt elmetsz és egy metszésponton át csak két húr megy át. Ekkor minden húr hét húrt metsz el és minden húron hét metszéspont lesz. Haladjunk egyesével! Kezdetben egy rész van, a körlap. Ha behúzzuk az első húrt, két rész keletkezik. A második húrt az első metszéspontja két részre bontja, mindkét rész egy-egy korábbi területrészből vág le egy-egy darabot, így 4 rész lesz már (\(\displaystyle 1+1+2\)). A harmadik húrt az első kettő húr két metszéspontja három részre bontja és mindhárom rész egy-egy korábbi területrészből vág le egy-egy darabot, így 7 rész lesz már (\(\displaystyle 1+1+2+3\)). A negyedik húrt az első három húr három metszéspontja négy részre bontja és mind a négy rész egy-egy korábbi területrészből vág le egy-egy darabot, így 11 rész lesz már (\(\displaystyle 1+1+2+3+4\)). Ezt a gondolatmenetet folytatva nyolc húr esetén a részek száma: \(\displaystyle 1+1+2+3+4+5+6+7+8 = 37\).

Statisztika:

121 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bartusková Viktória, Csontos Levente12, Engi Zita, Gárdi Bonifác István, Gyöngyösi Dorottya, Horváth Máté Kristóf, Molnár Lili, Szeszler Móric, Tajta Sára, Tóth 207 Bence, Tyukos Boglárka .
4 pontot kapott:	Angyal Szilárd, Derűs Ádám , Domján István, Ďurčovič Ádám, Forrai Boldizsár, Gyukity Milán, Herczeg Viktória , Horváth Imre, Kaposi-Ly Dávid, Kökény Kristóf, Mátyás Míra, Ollé Sarolta , Pikó András, Rem Domonkos, Tarján Ferenc , Virág Eszter, Zádori Gellért.
3 pontot kapott:	27 versenyző.
2 pontot kapott:	30 versenyző.
1 pontot kapott:	12 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	16 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	7 dolgozat.

A KöMaL 2022. szeptemberi matematika feladatai