 |
A K. 755. feladat (2023. február) |
K. 755. Legfeljebb hány oldala lehet egy olyan konvex sokszögnek, amelynek pontosan 3 tompaszöge van? Adjunk meg egy ilyen sokszöget.
(5 pont)
A beküldési határidő 2023. március 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Egy \(\displaystyle n\) oldalú konvex sokszög belső szögeinek összege \(\displaystyle (n - 2) \cdot 180^{\circ}\). A három tompaszög ebből összesen több, mint \(\displaystyle 3 \cdot 90^{\circ}\), de kevesebb, mint \(\displaystyle 3 \cdot180^{\circ}\). A maradék \(\displaystyle n-3\) szög nem tompaszög, tehát egyenként legfeljebb \(\displaystyle 90^{\circ}\)-osak. Azaz \(\displaystyle (n - 2) \cdot 180^{\circ} < 3 \cdot 180^{\circ} + (n - 3) \cdot 90^{\circ}\), amiből \(\displaystyle 2(n - 2) < n -3 + 6\), azaz \(\displaystyle n < 7\), tehát legfeljebb hat oldalú lehet a sokszög.
Ilyen konvex hatszögek valóban léteznek, ahogy azt az alábbi ábra két hatszöge mutatja.
Az \(\displaystyle ABCDE\) hatszög szögeinek nagysága rendre
\(\displaystyle 90^{\circ}, 150^{\circ}, 150^{\circ}, 150^{\circ}, 90^{\circ},\)
míg a \(\displaystyle GHIJKL\) hatszög szögeinek mértéke rendre
\(\displaystyle 80^{\circ}, 165^{\circ}, 150^{\circ}, 75^{\circ}, 165^{\circ}, 85^{\circ}.\)
Mindkét hatszög eleget tesz a feladat minden feltételének.
Statisztika:
64 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Hárs Kende, Horváth Imre, Korcsik Lujza, Libor Andrea, Molnár Lili, Móricz Zsombor, Som Dóra, Tóth 207 Bence. 4 pontot kapott: Bartusková Viktória, Csorba Marcell, Derűs Ádám , Domján István, Farkas Máté, Király Lilla Virág, Kókai Ákos, Kökény Kristóf, Ligeti Ábel, Mann Elinor, Pulka Gergely Tamás, Szabó 926 Bence, Szabó Dániel György, Török Szilárd. 3 pontot kapott: 8 versenyző. 2 pontot kapott: 9 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 16 versenyző. Nem versenyszerű: 3 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 4 dolgozat.
A KöMaL 2023. februári matematika feladatai