 |
A K. 811. feladat (2024. április) |
K. 811. Egy \(\displaystyle 8\times8\)-as sakktáblára ráírtuk a pozitív egész számokat \(\displaystyle 1\)-től \(\displaystyle 64\)-ig növekvő sorrendben, a bal felső sarokban kezdve és soronként haladva. Lehetséges-e két egymással élben vagy csúcsban szomszédos mezőn álló számot a tábláról törölnünk úgy, hogy a fennmaradó számok összege éppen \(\displaystyle 2024\) legyen?
Javasolta: Bíró Bálint (Eger)
(5 pont)
A beküldési határidő 2024. május 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A sakktáblára írt számok összege
\(\displaystyle \displaystyle{1+2+3+...+64=\frac{64}{2}\cdot65=2080}.\)
Ezért két olyan, élben vagy csúcsban szomszédos mezőt kell keresnünk, amelyekre írt számok összege \(\displaystyle 56\).
Ez a két mező nem lehet a sakktábla ugyanazon sorában, mert az egy sorban levő bármely két élben szomszédos mezőjén álló számok összege páratlan, hiszen az egyik páros szám, a másik páratlan.
A két kiválasztott mező tehát élben szomszédos csak úgy lehet, ha egy oszlopban helyezkednek el, ekkor viszont a tábla számozási konstrukciója miatt a két szám közül a nagyobbikból a kisebbet kivonva \(\displaystyle 8\)-at kapunk. Legyen a kisebb szám \(\displaystyle x\), ekkor a nagyobb szám \(\displaystyle x+8\), ezzel \(\displaystyle 2x+8=56\), ahonnan
\(\displaystyle x=24\)
következik, ez a sakktáblán a \(\displaystyle 3.\) sor utolsó mezőjén álló szám. Ha ezt a számot, és a táblán a \(\displaystyle 4.\) sor utolsó mezőjén álló \(\displaystyle 32\)-t töröljük, akkor a táblán maradt számok összege valóban \(\displaystyle 2024\)-lesz.
Legyen most a kiválasztott szám \(\displaystyle y\), ehhez olyan számot keresünk, amelyik vele csúcsban szomszédos mezőn áll. Könnyen beláthatjuk, hogy a kiválasztott mezővel csúcsban szomszédos mezőkön csakis \(\displaystyle y-7; y+7\) vagy \(\displaystyle y-9; y+9\) állhat. A négyféle lehetőség közül bármelyiket adjuk az \(\displaystyle y\)-hoz, a
\(\displaystyle 2y-7; 2y+7; 2y-9; 2y+9\)
számok valamelyikét kapjuk.
Ezek azonban mind páratlan számok, ezért egyik sem lehet egyenlő \(\displaystyle 56\)-tal. Azt kaptuk tehát, hogy a feladatnak egyetlen megoldása van: a tábláról a különböző sorban elhelyezkedő, élben szomszédos mezőkön levő \(\displaystyle 24\) és \(\displaystyle 32\) számokat kell törölni, és akkor a megmaradt számok összege \(\displaystyle 2024\) lesz.
Statisztika:
A KöMaL 2024. áprilisi matematika feladatai