A K. 884. feladat (2026. január)

K. 884. Cikkcakk számnak hívjuk az olyan számokat, amelyek számjegyeit balról jobbra tekintve az első számjegynél kisebb a második, a második számjegynél nagyobb a harmadik, a harmadiknál kisebb a negyedik és így tovább.

Készítsd el az \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 4\), \(\displaystyle 5\) számjegyekből az összes cikkcakk számot, azaz az összes olyan \(\displaystyle \overline{abcde}\) ötjegyű számot, ahol \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\), \(\displaystyle e\) mind különböző, és amelyre \(\displaystyle a>b\) és \(\displaystyle b<c\) és \(\displaystyle c>d\) és \(\displaystyle d<e\) teljesül. Hány ilyen ötjegyű cikkcakk szám van?

(5 pont)

A beküldési határidő 2026. február 10-én LEJÁRT.

1. megoldás. Mivel \(\displaystyle c > b\) és \(\displaystyle c > d\), így \(\displaystyle c\) \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 4\) vagy \(\displaystyle 5\) lehet csak, valamint az \(\displaystyle 1\) csak \(\displaystyle b\) vagy \(\displaystyle d\) lehet és sem \(\displaystyle b\), sem \(\displaystyle d\) nem lehet \(\displaystyle 4\) vagy \(\displaystyle 5\).

Ha \(\displaystyle c = 3\), akkor \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle d\) csak \(\displaystyle 1\) és \(\displaystyle 2\) lehet valamilyen sorrendben, valamint \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle e\) pedig \(\displaystyle 4\) és \(\displaystyle 5\) valamilyen sorrendben, így ez \(\displaystyle 2\cdot2=4\) lehetőség. (\(\displaystyle 41325\), \(\displaystyle 51324\), \(\displaystyle 42315\), \(\displaystyle 52314\).)

Ha \(\displaystyle c = 4\), akkor \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle d\) közül az egyik \(\displaystyle 1\), a másik csak \(\displaystyle 2\) vagy \(\displaystyle 3\) lehet valamilyen sorrendben. Ezek a lehetőségek vannak: \(\displaystyle 31425\), \(\displaystyle 51423\), \(\displaystyle 32415\), \(\displaystyle 52413\), \(\displaystyle 21435\), \(\displaystyle 53412\), ami \(\displaystyle 6\) lehetőség.

Ha \(\displaystyle c = 5\), akkor \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle d\) közül az egyik \(\displaystyle 1\), a másik csak \(\displaystyle 2\) vagy \(\displaystyle 3\) lehet valamilyen sorrendben. Ezek a lehetőségek vannak: \(\displaystyle 31524\), \(\displaystyle 41523\), \(\displaystyle 32514\), \(\displaystyle 42513\), \(\displaystyle 21534\), \(\displaystyle 43512\), ami \(\displaystyle 6\) lehetőség.

Összesen \(\displaystyle 16\) ilyen ötjegyű szám van.

2. megoldás. Az \(\displaystyle 5\) lehet \(\displaystyle a\) vagy \(\displaystyle c\) vagy \(\displaystyle e\) helyén. Az \(\displaystyle 1\) pedig csakis \(\displaystyle b\) vagy \(\displaystyle d\) helyén. Vegyül sorra szisztematikusan!

Statisztika:

A K. 884. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2026. januári matematika feladatai