A K. 885. feladat (2026. január)

K. 885. Peti reggelire kakaót vagy gyümölcslevet iszik, mindig valamelyiket, de csak az egyiket. A kakaózás nála kétnapos esemény, ezért a kakaóivási időszakok mindig páros sok napból állnak. Hányféleképpen alakulhat a reggeli innivalója szempontjából február első tíz napja?

(5 pont)

A beküldési határidő 2026. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Vizsgáljunk először rövidebb időszakot, nézzük meg, hogy 1, 2, 3, \(\displaystyle \ldots\) napos időszak hányféleképpen alakulhat a reggeli innivaló szempontjából. Rövidítsük a kakaót \(\displaystyle k\), a gyümölcslét \(\displaystyle g\) betűvel.

Az egy nap hosszúságú időtartamra egy lehetőség van: \(\displaystyle g\). Két nap hosszúságúra kettő: \(\displaystyle gg\), \(\displaystyle kk\), három nap hosszúságúra három: \(\displaystyle ggg\), \(\displaystyle gkk\), \(\displaystyle kkg\). A négy nap hosszúságú időtartamra már öt megfelelő lehetőség adódik: \(\displaystyle gggg\), \(\displaystyle ggkk\), \(\displaystyle gkkg\), \(\displaystyle kkgg\), \(\displaystyle kkkk\).

A kezdeti tapasztalatok után próbáljunk meg általánosabb megállapítást tenni.

Egy öt nap hosszú időtartam vagy kakaóval, vagy gyümölcslével végződik. Ha az utolsó nap \(\displaystyle k\), akkor az utolsó kettő nap csak \(\displaystyle kk\) lehet. Az ilyen sorozatok száma viszont egyezik a háromnapos megfelelő sorozatok számával, tehát három \(\displaystyle k\) végű eset van. A \(\displaystyle g\) végződésűekről pedig az mondható el, hogy számuk egyezik a négynapos italsorozatok számával, ami 5. Tehát \(\displaystyle 3+5=8\)-féle módon alakulhat egy 5 nap hosszú időtartam reggeli innivaló szempontjából.

Az előbb látott módszer általánosan is működik: egy \(\displaystyle n\)-napos időtartam italsorozatainak száma egyezik az (\(\displaystyle n-1\))-napos és az (\(\displaystyle n-2\))-napos időtartam italsorozatai számának összegével. E szabály alapján juthatunk el a 10-napos időtartamra vonatkozó lehetőségek számához, ahogy az az alábbi táblázatban olvasható:

Tehát összesen 89-féle módon alakulhat egy tíz nap hosszúságú időtartam a reggeli italok szempontjából.

Statisztika:

A K. 885. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2026. januári matematika feladatai