 |
A K. 890. feladat (2026. február) |
K. 890. Adott egy négyzet négy csúcsa és a középpontja.
a) Hány olyan egyenes rajzolható, amely ebből az öt pontból legalább kettőn áthalad?
b) Hány olyan kör rajzolható, amely ebből az 5 pontból legalább hármon áthalad?
Birkás György feladatai alapján
(5 pont)
A beküldési határidő 2026. március 10-én LEJÁRT.
Megoldás. a) Az 5 pontból kettőt kiválasztani 10-féleképpen tudunk. Ez 10 egyenest jelöl ki, azonban ezek nem mind különbözők. Az a két egyenes, amelyik átmegy két átellenes csúcson és a középponton, három pontot tartalmaz, így háromszor számoltuk meg, de csak egyszer kellett volna. Ennek megfelelően összesen 10–2–2=6 egyenest találunk a feltételnek megfelelően.
b) Az 5 pontból hármat 10-féleképpen választhatunk ki (mert 10-féle párosításban maradhat ki 2 pont). A tíz ponthármas közül kettő egy egyenesen van (a négyzet két átlójára eső csúcspontok és a középpont), ezért ez e két ponthármas nem ad kört megoldásként. Azok a ponthármasok pedig, melyekben minden pont valamelyik csúcs, ugyanazt a kört, a négyzet körülírt körét eredményezik. Ezt a kört négyszer számoltuk meg, hiszen négyféleképpen választhatunk a négy csúcs közül hármat.
Ezért a ténylegesen megfelelő körök száma \(\displaystyle 10–2–3 = 5\).
Statisztika:
117 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 51 versenyző. 4 pontot kapott: 15 versenyző. 3 pontot kapott: 18 versenyző. 2 pontot kapott: 19 versenyző. 1 pontot kapott: 12 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 2 dolgozat.
A KöMaL 2026. februári matematika feladatai