A K. 899. feladat (2026. április)

K. 899. Anna felírta az összes kétjegyű pozitív egész számot egyszer a táblára. Boglárka egymás után letörölte Anna számait és mindegyik helyére azt a számot írta fel, amelyet úgy kapott, hogy a második számjegyből kivonta az elsőt. Például a \(\displaystyle 26\) helyett \(\displaystyle 6-2=4\)-et, a \(\displaystyle 73\) helyett \(\displaystyle 3-7=-4\)-et írt. Mennyi a Boglárka által felírt számok összege?

Javasolta: Kozma Katalin Abigél (Győr)

(5 pont)

A beküldési határidő 2026. május 11-én LEJÁRT.

Megoldás. 1. megoldás. Összesen \(\displaystyle 90\) darab kétjegyű pozitív egész szám van, ezeknek első számjegye nem nulla. A \(\displaystyle 9\) darab nemnulla számjegy mindegyike \(\displaystyle 10\)-szer szerepel a tízesek helyén, így összegük:

\(\displaystyle 10 \cdot (1+2+3+4+5+6+7+8+9)=450.\)

Az egyesek helyén mind a \(\displaystyle 10\) számjegy szerepel, de mindegyik csak \(\displaystyle 9\)-szer, így összegük:

\(\displaystyle 9 \cdot (1+2+3+4+5+6+7+8+9)=405.\)

Mivel a tízesek helyén álló számjegyet Boglárka mindig kivonta, így a keresett összeg: \(\displaystyle 405-450=-45.\)

2. megoldás. Összesen \(\displaystyle 90\) darab kétjegyű pozitív egész szám van, ezek közül \(\displaystyle 81\) szám nem tartalmazza a \(\displaystyle 0\) számjegyet. Ezekben pontosan ugyanannyiszor szerepelnek a tízesek helyén az egyes nemnulla számjegyek, mint az egyesek helyén. Mivel a tízesek helyén álló számjegyet Boglárka mindig kivonta, így azok éppen \(\displaystyle 0\)-ára csökkentik a egyesek helyén álló nemnulla számjegyek összegét. Most vizsgáljuk a \(\displaystyle 0\) számjegyet tartalmazó \(\displaystyle 9\) darab számot. Mivel az első számjegy nem lehet \(\displaystyle 0\), ezért ezek éppen a \(\displaystyle 10\) kétjegyű, pozitív többszörösei. A tízesek helyén álló számot a nullából kell kivonni, így a \(\displaystyle 9\) darab szám első számjegyének ellentettjét összegezzük :

\(\displaystyle (-1)+(-2)+(-3)+(-4)+(-5)+(-6)+(-7)+(-8)+(-9)=\)

\(\displaystyle =-(1+2+3+4+5+6+7+8+9)=-45.\)

A Boglárka által a táblára írt számok összege \(\displaystyle -45.\)

Statisztika:

A K. 899. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2026. áprilisi matematika feladatai