A K. 900. feladat (2026. április)

K. 900. Egy négyzet négy sarkából egyenlő szárú derékszögű háromszögeket vágunk le úgy, hogy szabályos nyolcszöget kapjunk. Igazoljuk, hogy a szabályos nyolcszög oldalának hossza épp a négyzet átlójának és oldalának a különbsége.

Javasolta: Ujházy Márton (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2026. május 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje \(\displaystyle x\) az egységnégyzet sarkaiból levágott egyenlő szárú derékszögű háromszög befogóinak hosszát. Határozzuk meg kétféleképpen a szabályos nyolcszög oldalhosszát! Egyrészt ez az oldalhossz éppen a levágott háromszögek átfogója, vagyis \(\displaystyle x\sqrt{2}\), másrészt a keresett oldalhossz megegyezik a négyzet oldalából le nem vágott szakasz hosszával, ami \(\displaystyle 1-2x\). Így tudjuk, hogy

\(\displaystyle x\sqrt{2} = 1-2x,\)

amiből \(\displaystyle x = \dfrac{1}{2+\sqrt{2}},\) tehát a szabályos nyolcszög oldalhossza \(\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}\).

Igazolnunk kell tehát, hogy \(\displaystyle \dfrac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1,\) ami egyszerű algebrai átalakítás után nyilvánvaló.

Statisztika:

A K. 900. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2026. áprilisi matematika feladatai