A K. 911. feladat (2026. szeptember)

K. 911. Fel lehet-e bontani \(\displaystyle 99\), \(\displaystyle 100\), illetve \(\displaystyle 101\) egyenlő szárú háromszögre egy szabályos háromszöget úgy, hogy a felbontásban ne legyen minden háromszög szabályos?

(5 pont)

A beküldési határidő 2026. október 12-én LEJÁRT.

Megoldás. A problémát általánosabban vizsgáljuk, megmutatjuk, hogy a felbontás tetszőleges \(\displaystyle n\geq3\) darabszám esetén elvégezhető, amiből következik a 99, 100 és 101 háromszögre felbonthatóság is.

A következő ábra szemlélteti egy szabályos háromszög felbontását 3, 4, 5, 6 egyenlő szárú háromszögre. A továbbiakban ezeket a felbontásokat finomítjuk, mégpedig úgy, hogy egy szabályos háromszöget felosztunk négy darab kisebb szabályos háromszögre a középvonalai mentén.

A 4, 5, 6 háromszöges felbontásokban van szabályos háromszög és olyan is, amelyik nem szabályos, de egyenlőszárú. Mindegyik felbontásban a háromszögek számát 3-mal növelni tudunk úgy, hogy egy szabályos részháromszöget felbontunk négy darab kisebb szabályos háromszögre. Így a 4-es felbontásból 7-es, az 5-ösből 8-as, a 6-osból 9-es lesz.

Ezt az eljárást folytatva minden nagyobb darabszámú, a feltételeknek megfelelő felbontást el lehet érni. Ehhez 3-mal osztható darabszám esetén induljunk ki a 6 darabos felbontásból, 3-mal osztva 1 maradékot adó darabszám esetén a 4 darabos felbontásból, 2 maradék esetén pedig az 5 darabos felbontásból, és ismételgessük az előbbi, középvonalakat berajzoló lépést.

Az előző gondolatmenettel megkaptuk a 99, 100 és 101 háromszögre felbontáshoz vezető eljárást is.

Statisztika:

97 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ardhan Adya dary abyyu, Barnabás Bencz, Benedek Zétény, Bukta Zalán , Csigó András, Csomós Dávid, Csordás Hanna Jázmin, Galambos Léna Dorka, Hangyál Anna, Hangyási Botond, Hegedűs Sára Hanna, Jun Ian, Kass Péter, Kópházi Kende, Kottlík Judit, Kovacs David, kovacszalan000, Krapfel Botond, Lara Orosz, Lázár Belizár , Lőrinc Czövek, Madas Gergő Barnabás, Manaswini Mukhopadhyay, Máté Baksa, Miklós Mátyás, Noszek László Barnabás, Pálka Ádám István, Pálmai-Szargszjan Mátyás, Péter Weimann, Rasztgyörgy Donát, Róka-Madarász Zsuzsanna, Škrivanek Márk, Susányi Vera, Tamás Anna, Tolnai Péter, Tóth Ádám Mór , Vidyut S Sundar, Wang Mo, Yousif Alsatrawi, Zongor-Finta Dávid	(40 versenyző).
4 pontot kapott:	11 versenyző.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	11 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	17 dolgozat.

A KöMaL 2026. szeptemberi matematika feladatai