 |
A P. 4789. feladat (2015. december) |
P. 4789. Vékony, egyenletes keresztmetszetű ellenálláshuzalból ún. Sierpinski-háromszöget szeretnénk forrasztani. Ehhez egy szabályos háromszög alakú keretből indulunk ki, melynek \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) csúcsai között \(\displaystyle R_0\) ellenállást mérünk. A kerethez első lépésben hozzáforrasztjuk a háromszög középvonalait, majd második lépésben az így keletkezett négy kis háromszög közül a külső három középvonalait is beforrasztjuk. Az eljárást tovább folytatva önhasonló, fraktálszerű drótkeretet kapunk (lásd az ábrát).
Mekkora lesz az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pontok közötti ellenállás az \(\displaystyle n\)-edik lépés után?
Közli: Vigh Máté, Budapest
(5 pont)
A beküldési határidő 2016. január 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Tételezzük fel, hogy már ismerjük az \(\displaystyle n\)-edik lépés után kapott hálózat \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) közötti \(\displaystyle R_n\) ellenállását. Ez a hálózat helyettesíthető egy ,,csillagkapcsolással'', amelyben a szimmetria miatt három egyforma, \(\displaystyle R_n/2\) nagyságú ellenállás alkotja a csillag elemeit. A következő lépésben három ilyen, de fele méretre kicsinyített, tehát \(\displaystyle R_n/4\) nagyságú elemekből álló csillagkapcsolást kötünk össze. Könnyen leolvasható, hogy ebben a lépésben
\(\displaystyle R_{n+1}= \frac56R_n\)
lesz az eredő ellenállás, és mivel a kiindulási értéket ismerjük,
\(\displaystyle R_1=\frac56R_0,\quad R_2=\frac56R_1= \left(\frac56\right)^2R_0,\quad \ldots \quad R_n=\left(\frac56\right)^nR_0.\)
Megjegyzés: A feladatban szereplő fraktálobjektumot W. F. Sierpinski (1882-1969) lengyel matematikusról nevezték el, aki többek között a halmazelméletben, a valós függvénytanban, a számelméletben és a topológiában is maradandót alkotott.
Statisztika:
33 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Asztalos Bogdán, Balogh Menyhért, Bekes Nándor, Blum Balázs, Csenger Géza, Di Giovanni András, Fehér 169 Szilveszter, Forrai Botond, Juhász 326 Dániel, Kasza Bence, Kovács Péter Tamás, Marozsák Tóbiás , Németh 777 Róbert, Olosz Adél, Sal Kristóf, Szentivánszki Soma , Szick Dániel, Tibay Álmos, Tófalusi Ádám, Tomcsányi Gergely, Tóth Adrián, Török Péter, Varga-Umbrich Eszter, Veres Károly, Weisz Pál, Wiandt Péter. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2015. decemberi fizika feladatai