A P. 4853. feladat (2016. május)

P. 4853. Közös síkban helyezkedik el két koncentrikus körvezető. A sugaraik aránya 3, a rájuk vitt töltések aránya \(\displaystyle -8\). A körök középpontján átmenő, síkjukra merőleges egyenesen hol lehet a térerősség zérus?

Közli: Kobzos Ferenc, Dunaújváros

(4 pont)

A beküldési határidő 2016. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha a körvezetők sugara \(\displaystyle r\) és \(\displaystyle 3r\), töltésük pedig \(\displaystyle Q\) és \(\displaystyle -8Q\), akkor a térerősség a síkjuktól \(\displaystyle x\) távolságban (a szimmetriatengelyük mentén):

\(\displaystyle E(x)=kQ\frac{x}{(x^2+r^2)^{3/2}} -8kQ\frac{x}{(x^2+9r)2)^{3/2}}.\)

Az \(\displaystyle E(x)=0\) feltétel akkor teljesül, ha

\(\displaystyle \frac{x}{(x^2+r^2)^{3/2}}=\frac{8x}{(x^2+9r)2)^{3/2}}.\)

Az egyik (nyilvánvaló) megoldás: \(\displaystyle x_1=0\), vagyis a körvezetők középpontjában nulla a térerősség. További megoldások kereséséhez célszerű az \(\displaystyle x^2/r^2=\lambda\) új változó bevezetése. Ezzel a

\(\displaystyle (\lambda+9)^3=64(\lambda+1)^3\)

harmadfokú egyenlethez jutunk, amelyből \(\displaystyle \lambda+9=4(\lambda+1),\) vagyis \(\displaystyle \lambda=\frac{5}{3}\) következik. Ezek szerint a térerősség még az

\(\displaystyle x_{2,3}=\pm \sqrt{\frac{5}{3}}\,r\approx \pm 1{,}29\,r\)

pontokban lesz zérus.

Statisztika:

32 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Csorba Benjámin, Édes Lili, Fehér 169 Szilveszter, Körmöczi Dávid, Mány Bence, Osváth Botond, Póta Balázs, Pszota Máté, Szőke Dániel.
3 pontot kapott:	Blum Balázs, Csuha Boglárka, Fajszi Bulcsú, Farkas Domonkos, Kormányos Hanna Rebeka, Krasznai Anna, Németh Flóra Boróka, Sallai Krisztina, Simon 727 Máté, Simon Dániel Gábor, Szentivánszki Soma , Tibay Álmos, Tófalusi Ádám, Tóth 111 Máté .
2 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2016. májusi fizika feladatai