Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 4947. feladat (2017. május)

P. 4947. Egy részecskegyorsítóban \(\displaystyle M\) tömegű nyugvó részecskékkel különböző tömegű és különböző (a fénysebességgel összemérhető) sebességű testek ütköznek. Az ütközések mindegyik esetben centrálisak, egyenesek és tökéletesen rugalmasak.

\(\displaystyle a)\) Adjuk meg a kezdetben álló részecskének átadott \(\displaystyle W\) energiát a nekiütköző másik részecske \(\displaystyle E_{\rm m}\) mozgási energiájának és \(\displaystyle I\) impulzusának függvényében!

\(\displaystyle b)\) Ábrázoljuk vázlatosan a \(\displaystyle W(E_{\rm m}, I)\) függvényt rögzített \(\displaystyle I=I_0\) impulzus, illetve rögzített \(\displaystyle E_{\rm m}=E_0\) mozgási energia esetén!

\(\displaystyle c)\) Vizsgáljuk meg a nemrelativisztikus, illetve az ultrarelativisztikus határeseteket!

(Lásd a P. 4893. feladat megoldását lapunk 307. oldalán.)

Közli: Woynarovich Ferenc, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. június 12-én LEJÁRT.


Megoldás. \(\displaystyle a)\) A relativisztikus energia- és impulzusmegmaradás törvényét alkalmazva az átadott energiára a

\(\displaystyle W(E_{\rm m}, I)=\frac{8MI^2E_{\rm m}^2}{ \left(\left[I+\frac{E_{\rm m}}{c}\right]^2+2ME_{\rm m}\right)\left(\left[I-\frac{E_{\rm m}}{c}\right]^2+2ME_{\rm m}\right)} \)

kifejezés adódik, ahol \(\displaystyle c\) a fénysebesség vákuumban. Mivel a ütköző részecske tömege

\(\displaystyle m=\frac{(Ic)^2-E_{\rm m}^2}{2E_{\rm m}c^2}\ge0,\)

a \(\displaystyle W(E_{\rm m}, I)\) függvény fizikailag értelmes értelmezési tartománya: \(\displaystyle 0<E_{\rm m}\le (Ic).\)

\(\displaystyle b)\) Az ábrák jellege hasonló a P. 4893. feladat megoldásánál közöltekkel.

\(\displaystyle c)\) Nemrelativisztikus (NR) határesetben, amikor mind a bejövő, mind a meglökött részecske sebessége \(\displaystyle c\)-nél sokkal kisebb,

\(\displaystyle W\approx W_{(NR)}=\frac{8MI^2E_{\rm m}^2}{\left( I^2+2ME_{\rm m}\right)^2}, \)

amint ezt a P. 4893. feladatban már megkaptuk.

Ultrarelativisztikus (UR) határesetben, amikor \(\displaystyle E_{\rm m} \approx Ic\), vagyis \(\displaystyle m\approx 0\), és ami ezzel együtt jár, a bejövő részecske sebessége \(\displaystyle v\approx c\), az átadott energia:

\(\displaystyle W\approx W_{(UR)}=\frac{E_{\rm m}^2}{E_{\rm m}+\frac{1}{2}Mc^2}.\)

A továbbiakban két esetet különböztethetünk meg:

\(\displaystyle (i)\) Ha \(\displaystyle E_{\rm m}\approx Ic\ll Mc^2,\) akkor a meglökött részecske (test) mozgása nemrelativisztikus, jóllehet egy ultrarelativisztikus (majdnem vagy pontosan fénysebességgel mozgó) részecske lökte meg. Ilyenkor az átadott energia:

\(\displaystyle W_{(UR-NR)}=\frac{2E_{\rm m}^2} { Mc^2}=\frac{2I^2}{M}.\)

Ez az eset valósul meg például akkor, amikor egy \(\displaystyle I\) impulzusú foton esik egy \(\displaystyle M\) tömegű ,,nehéz tükörre''. A foton visszaverődik, lendületváltozása jó közelítéssel \(\displaystyle 2I,\) a meglökött tükör impulzusa is \(\displaystyle 2I\), mozgási energiája pedig \(\displaystyle W=(2I)^2((2M)=2I^2/M\) lesz.

\(\displaystyle (ii)\) Ha \(\displaystyle E_{\rm m}\approx Ic\gg Mc^2,\) ilyenkor a meglökött részecske is fénysebességhez közeli sebességre gyorsul, az átadott energia

\(\displaystyle W\approx W_{(UR-UR)}=E_{\rm m},\)

vagyis a bejövő részecske mozgási energiája teljes egészében átadódik a meglökött részecskének.

A nemrelativisztikus ütközésekhez hasonlóan, ha teljesül, hogy

\(\displaystyle m=\frac{(Ic)^2-E_{\rm m}^2}{2E_{\rm m}c^2}=M,\)

akkor \(\displaystyle W=E_{\rm m},\) és ez nemcsak a határesetekben, hanem tetszőleges ,,közbenső'' energiáknál is fennáll.


Statisztika:

3 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Bekes Nándor.
1 pontot kapott:2 versenyző.

A KöMaL 2017. májusi fizika feladatai