 |
A P. 4976. feladat (2017. november) |
P. 4976. Három kicsiny golyót egy egyenes mentén helyeztünk el úgy, hogy kezdetben nem mozognak, és a szomszédos golyók távolsága \(\displaystyle d\). A golyók tömege és töltése rendre \(\displaystyle m\), \(\displaystyle 2m\), \(\displaystyle 5m\), illetve \(\displaystyle q\), \(\displaystyle q\), \(\displaystyle 2q\).
\(\displaystyle a)\) Mekkora lesz a golyók távolsága és sebessége az indulást követő nagyon rövid \(\displaystyle t_0\) idő múlva?
\(\displaystyle b)\) Mekkora lesz a golyók sebessége elegendően hosszú idő múlva?
(Az elektrosztatikus erőkön kívül minden más erőhatás elhanyagolható.)
A Kvant nyomán
(5 pont)
A beküldési határidő 2017. december 11-én LEJÁRT.
Megoldás. \(\displaystyle a)\) Vegyük fel a koordináta-rendszerünk \(\displaystyle x\) tengelyét az adott egyenes mentén balról jobbra, és számozzuk meg golyókat növekvő koordinátáknak megfelelő sorrendben. Az 1. golyóra ható erő a kezdeti pillanatban
\(\displaystyle F_1=-k\frac{q^2}{d^2}-k\frac{2q^2}{4d^2}=-1{,}5\frac{kq^2}{d^2},\)
gyorsulása tehát
\(\displaystyle a_1=\frac{F_1}{m}=-1{,}5\frac{kq^2}{md^2},\)
és így egy nagyon rövid \(\displaystyle t_0\) idő alatti elmozdulása (a mozgását egyenletesen gyorsulónak tekintve)
\(\displaystyle x_1= \frac{a_1}{2}t_0^2=-0{,}75~\frac{kq^2}{md^2}t_0^2.\)
(A negatív előjel azt mutatja, hogy az első golyócska balra mozdul el.)
Hasonló módon számíthatjuk ki a másik két golyó elmozdulását is:
\(\displaystyle F_2= k\frac{q^2}{d^2}-k\frac{2q^2}{ d^2}=-\frac{kq^2}{d^2},\qquad a_2=\frac{F_2}{2m}=-0{,}5\frac{kq^2}{md^2}, \qquad x_2=-0{,}25~\frac{kq^2}{md^2}t_0^2,\)
\(\displaystyle F_3= k\frac{2q^2}{4d^2}+\frac{2q^2}{ d^2}=2{,}5~\frac{kq^2}{d^2},\qquad a_3=\frac{F_3}{5m}=0{,}5\frac{kq^2}{md^2}, \qquad x_3=0{,}25~\frac{kq^2}{md^2}t_0^2.\)
\(\displaystyle b)\) Vegyük észre, hogy a szomszédos golyók egymáshoz viszonyított kezdeti gyorsulásai, és emiatt az egymáshoz viszonyított elmozdulásaik is és a sebességkülönbségeik is megegyeznek:
\(\displaystyle a_3-a_2=a_2-a_1, \qquad v_3-v_2=v_2-v_1 \qquad\text{és}\qquad x_3-x_2=x_2-x_1.\)
Ez a tulajdonság a továbbiakban is megmarad, így akkor is igaz, amikor – elegendően hosszú idő múlva – már nagyon messze kerülnek egymástól. Ilyenkor a végsebességekre fennáll:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle mv_1+2mv_2+5mv_3=0,\) |
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}(2m)v_2^2+\frac{1}{2}(5m)v_3^2=k\frac{q^2}{d}+k\frac{2q^2}{2d}+k\frac{2q^2}{d},\) |
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle v_3-v_2=v_2-v_1.\) |
A fenti három egyenletből (melyek közül az első a rendszer lendületének, a második az energiájának megmaradását fejezi ki) a végsebességek:
\(\displaystyle v_1=-3\sqrt{\frac{kq^2}{2md}}, \qquad v_2=- \sqrt{\frac{kq^2}{2md}}, \qquad v_3=+ \sqrt{\frac{kq^2}{2md}}.\)
Statisztika:
51 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Berke Martin, Debreczeni Tibor, Kondákor Márk, Máth Benedek, Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Póta Balázs, Sal Dávid. 4 pontot kapott: Bartók Imre, Bíró Dániel, Csire Roland, Elek Péter, Fajszi Bulcsú, Fekete Balázs Attila, Kolontári Péter, Kozák András, Magyar Róbert Attila, Makovsky Mihály, Olosz Adél, Shirsha Bose, Tófalusi Ádám. 3 pontot kapott: 5 versenyző. 2 pontot kapott: 18 versenyző. 1 pontot kapott: 4 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2017. novemberi fizika feladatai