 |
A P. 5139. feladat (2019. május) |
P. 5139. Egyszínű fénysugár érkezik a vízben lévő, \(\displaystyle 75^\circ\)-os törőszögű üvegprizma határfelületéhez \(\displaystyle 45^\circ\)-os beesési szöggel, majd a kétszeres törést követően kilép belőle.
\(\displaystyle a)\) Hogyan és hány százalékkal változik a fény hullámhossza, amikor az üvegből a vízbe kilép?
\(\displaystyle b)\) Mekkora szöggel térül el a kétszer megtört fénysugár a beeső fénysugár irányához képest?
\(\displaystyle c)\) Mekkora beesési szög esetén nem lépne ki a fénysugár a prizmából a második határfelületre érkezés után?
Az üveg abszolút törésmutatója \(\displaystyle \frac32\), a vízé \(\displaystyle \frac43\).
Közli: Tornyos Tivadar Eörs, Budapest
(4 pont)
A beküldési határidő 2019. június 11-én LEJÁRT.
Megoldás. \(\displaystyle a)\)Az üvegnek a vízre vonatkoztatott (relatív) törésmutatója
\(\displaystyle n=\frac{n_\text{üveg}}{n_\text{víz}}=\frac{3}{2}\cdot \frac{3}{4} =\frac{9}{8}=1{,}125.\)
A vízben a fény terjedési sebessége \(\displaystyle n\)-szer akkora, mint az üvegben, a frekvencia pedig nem változik, így
\(\displaystyle \frac{v_\text{víz}}{v_\text{üveg}}=\frac{\lambda_\text{víz}}{\lambda_\text{üveg}}=1{,}125.\)
Az üvegből a vízbe kilépő fény hullámhossza tehát 12,5%-kal megnő.
\(\displaystyle b)\) Legyen az ábrán látható módon az első fénytörésnél a beesési szög \(\displaystyle \alpha\), a törési szög \(\displaystyle \beta\), a második határfelületnél a beesési szög \(\displaystyle \gamma\), a törési szög pedig \(\displaystyle \delta\).
A Snellius–Descartes-törvény és geometriai összefüggések szerint fennáll, hogy
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{9}{8},\) |
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \beta+\gamma=75^\circ,\) |
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle \frac{\sin\delta}{\sin\gamma}=\frac{9}{8},\) |
és a fénysugár eltérülési szöge (az ún. deviáció)
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle \Delta=(\alpha-\beta)+(\delta-\gamma).\) |
Esetünkben \(\displaystyle \alpha=45^\circ\), és ebből az (1)-(4) összefüggéseket alkalmazva lépésenként számolható, hogy
\(\displaystyle \beta=38{,}9^\circ, \qquad \gamma=36{,}1^\circ, \qquad \delta=41{,}5^\circ, \qquad \Delta=11{,}5^\circ.\)
\(\displaystyle c)\) Alkalmazzuk a (3), (2) majd az (1) összefüggést! A fény nem lép ki az üvegből, ha \(\displaystyle \sin\gamma>\frac89\) vagyis \(\displaystyle \gamma>62{,}7^\circ\) (ekkor teljes visszaverődés történik). Ilyenkor \(\displaystyle \beta<12{,}3^\circ\), és végül \(\displaystyle \alpha<13{,}8^\circ\).
Statisztika:
27 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Békési Ábel, Olosz Adél, Sal Dávid, Tiefenbeck Flórián, Toronyi András, Vass Bence. 3 pontot kapott: Bukor Benedek, Csécsi Marcell, Fiam Regina, Hartmann Alice, Kalmár Dóra, Keltai Dóra, Lipták Gergő, Mácsai Dániel, Makovsky Mihály, Máth Benedek, Molnár Mátyás, Selmi Bálint, Tanner Norman, Viczián Anna. 2 pontot kapott: 6 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2019. májusi fizika feladatai