A P. 5212. feladat (2020. március)

P. 5212. Egy asztallap fölött \(\displaystyle h\) magasságban felfüggesztett \(\displaystyle \ell>h\) hosszúságú fonálingát vízszintes helyzetből kezdősebesség nélkül elengedünk. A fonál végén lévő golyó az asztalon \(\displaystyle n\)-szer pattan úgy, hogy az utolsó pattanáskor a fonál éppen megfeszül, és az inga továbblendül. Adjuk meg \(\displaystyle h\) és \(\displaystyle \ell\) arányát!

(Az ütközések tökéletesen rugalmasak, a légellenállás elhanyagolható, és a meglazult fonál nem akadályozza a golyó mozgását.)

Közli: Orbay Péter, Sopron

(4 pont)

A beküldési határidő 2020. április 14-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelöljük a fonálnak a függőlegessel bezárt szögét az első pattanás pillanatában \(\displaystyle \alpha\)-val. Az ábráról leolvasható, hogy

\(\displaystyle \cos\alpha=\frac{h}{\ell}.\)

A golyó sebességének nagysága az első ütközéskor (az energiamegmaradás törvénye szerint)

\(\displaystyle v=\sqrt{2gh},\)

és ennek a sebességnek vízszintes komponense

\(\displaystyle v_x=v\cos\alpha,\)

a függőleges komponense pedig

\(\displaystyle v_y=v\sin\alpha.\)

Két ütközés között

\(\displaystyle t=\frac{2v_y}{g}=\frac{2v\sin\alpha}{g}\)

idő telik el, ezalatt vízszintes irányban a golyó elmozdulása

\(\displaystyle s=v_x t=\frac{2v\sin\alpha}{g}\cdot v\cos\alpha=4h\,\sin\alpha\,\cos\alpha= \frac{4h^2}{\ell}\sin\alpha.\)

Ha a fonál újboli megfeszüléséig \(\displaystyle n\) ütközés történik, akkor

\(\displaystyle (n-1)s=2\ell\sin\alpha,\)

vagyis

\(\displaystyle \frac{h}{\ell}=\frac1{\sqrt{2(n-1)}}.\)

Statisztika:

27 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Békési Ábel, Bokor Endre, Fekete András Albert, Hamar Dávid, Horváth 999 Anikó, Jánosik Áron, Kertész Balázs, Lê Minh Phúc, Ludányi Levente, Somlán Gellért, Szabó 314 László, Viczián Anna.
3 pontot kapott:	Beke Zsolt, Bekes Barnabás, Fekete Levente, Fülöp Sámuel Sihombing, Györgyfalvai Fanni, Horváth Antal, Hung Vo, Kardkovács Levente, Mócza Tamás István, Nguyễn Đức Anh Quân, Páhán Anita Dalma, Schäffer Bálint, Tóth Ábel, Vass Bence.
2 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2020. márciusi fizika feladatai